Fonctions d’offre et de demande – TVI
On rappelle que les fonctions d'offre et de demande indiquent respectivement la quantité d'un produit que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter pour un prix donné.
Un disquaire vend sur internet des CD musicaux dont le prix unitaire varie entre 10 et 30 euros.
Une étude de marché a permis de modéliser les fonctions d'offre $ f $ et de demande $ g $ d'un de ces CD à l'aide des formules :
$ f(x)=22,32x+268 $
et
$ g(x)= - 0.048x^3+4x^2 - 120x+1760 $
où $ x $ désigne le prix d'un CD en euros.
- Donner le sens de variation de $ f $ sur l'intervalle $ [10 ; 30] $. Quelle interprétation économique de ce résultat peut-on faire ?
Indiquer pourquoi la fonction $ g $ est dérivable sur l'intervalle $ [10 ; 30] $ et calculer sa dérivée.
En déduire le sens de variation de $ g $ sur cet intervalle. Interpréter économiquement ce résultat.
On appelle "prix d'équilibre", le prix $ x_0 $ pour lequel l'offre et la demande sont égales.
- On pose $ h(x)=f(x) - g(x) $. Montrer que le prix d'équilibre $ x_0 $ est solution de l'équation $ h(x)=0 $ sur l'intervalle $ [10 ; 30] $.
Étudier les variations de la fonction $ h $.
En déduire que, pour le problème posé, il existe un et un seul point d'équilibre.
À l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée à $ 10^{ - 2} $ près de $ x_0 $.
Quelles sont alors les valeurs de l'offre et de la demande ?
Corrigé
La fonction $ f $ est une fonction affine définie par $ f(x) = 22,32x + 268 $.
Son coefficient directeur $ a = 22,32 $ est strictement positif.
Par conséquent, la fonction $ f $ est strictement croissante sur l'intervalle $ [10 ; 30] $.
D'un point de vue économique, cela signifie que plus le prix de vente d'un CD est élevé, plus le disquaire est prêt à en offrir (vendre) sur le marché.
La fonction $ g $ est une fonction polynôme du troisième degré.
En tant que telle, elle est dérivable sur tout intervalle réel, et donc sur $ [10 ; 30] $.
Sa dérivée est donnée par :
$ g'(x) = - 0,048 \times 3x^2 + 4 \times 2x - 120 = - 0,144x^2 + 8x - 120 $Étudions le signe de $ g'(x) $ en calculant le discriminant du trinôme $ - 0,144x^2 + 8x - 120 $ :
$ \Delta = 8^2 - 4 \times (- 0,144) \times (- 120) = 64 - 69,12 = - 5,12 $Le discriminant est strictement négatif.
Le trinôme ne possède donc pas de racine réelle et il est du signe de son coefficient dominant $ a = - 0,144 $ pour tout $ x $.
Ainsi, $ g'(x) < 0 $ pour tout $ x \in [10 ; 30] $.
On en déduit que la fonction $ g $ est strictement décroissante sur l'intervalle $ [10 ; 30] $.
Économiquement, ce résultat traduit le fait que plus le prix d'un CD augmente, plus la demande des consommateurs diminue.
Le prix d'équilibre $ x_0 $ est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande, c'est-à-dire $ f(x_0) = g(x_0) $.
Cette égalité est équivalente à $ f(x_0) - g(x_0) = 0 $.
En posant $ h(x) = f(x) - g(x) $, le prix d'équilibre $ x_0 $ est donc bien solution de l'équation $ h(x) = 0 $.
La fonction $ h $ est définie par :
$ h(x) = 22,32x + 268 - (- 0,048x^3 + 4x^2 - 120x + 1760) $
$ h(x) = 0,048x^3 - 4x^2 + 142,32x - 1492 $Sa dérivée est $ h'(x) = f'(x) - g'(x) = 22,32 - (- 0,144x^2 + 8x - 120) = 0,144x^2 - 8x + 142,32 $.
Le discriminant de ce trinôme est :
$ \Delta_h = (- 8)^2 - 4 \times 0,144 \times 142,32 = 64 - 81,97632 = - 17,97632 $Puisque $ \Delta_h < 0 $, $ h'(x) $ est toujours du signe de $ a = 0,144 $, donc $ h'(x) > 0 $.
La fonction $ h $ est donc strictement croissante sur $ [10 ; 30] $.
De plus :
- $ h(10) = 0,048(10^3) - 4(10^2) + 142,32(10) - 1492 = 48 - 400 + 1423,2 - 1492 = - 420,8 $
$ h(30) = 0,048(30^3) - 4(30^2) + 142,32(30) - 1492 = 1296 - 3600 + 4269,6 - 1492 = 473,6 $
La fonction $ h $ est continue et strictement croissante sur $ [10 ; 30] $, et elle change de signe sur cet intervalle (car $ h(10) < 0 $ et $ h(30) > 0 $).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet une solution unique $ x_0 $ dans l'intervalle $ [10 ; 30] $.
Il existe donc un et un seul prix d'équilibre pour ce marché.
Par balayage à la calculatrice, on trouve :
$ h(16,84) \approx - 0,33 $
$ h(16,85) \approx 0,22 $Le prix d'équilibre, arrondi au centime d'euro, est donc $ x_0 \approx 16,85 $ euros.
Les valeurs de l'offre et de la demande sont alors :
$ f(16,85) = 22,32 \times 16,85 + 268 \approx 376,09 + 268 = 644,09 $L'offre et la demande sont d'environ 644 unités.