On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = \left(1 – x^2\right) e^x.$
On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d’unité 1 centimètre.
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Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ et lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ .
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Calculer la dérivée $f^\prime$ de la fonction $f$.
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Étudier le signe de $f^\prime(x)$.
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Construire le tableau de variations de $f$
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Déterminer les points d’intersections de la courbe $\mathscr C$ et de l’axe des ordonnées.
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A l’aide des questions précédentes, tracer la courbe $\mathscr C$ dans le repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d’unité 1 centimètre.
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Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels et $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) =(ax^2+bx+c)e^x$.
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Calculer $F^\prime(x)$.
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Montrer qu’il existe des valeurs de $a$, $b$ et $c$ telles que $F^\prime=f$
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En déduire la valeur exacte de l’intégrale $\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.
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Interpréter graphiquement l’intégrale $\mathcal{A}$.
