Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I= ]0~;~+\infty[$ par :
$f(x)=\sqrt{x} – \dfrac{1}{x}$
On note $\mathscr C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O~;~\vec{i},\vec{j})$ d’unité $1$cm.
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Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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Calculer $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$.
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Calculer $f^{\prime}(x)$ et donner le sens de variations de la fonction $f$ sur $I$.
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Tracer la courbe $\mathscr C_f$.
La courbe $\mathscr C_f$ admet une tangente $(T)$ qui passe par l’origine du repère. Tracer $(T)$.
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On note $a$ l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathscr C_f$ et de la droite $(T)$.
Montrer que $\dfrac{\sqrt{a}}{2} – \dfrac{2}{a}=0$
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Soit $g$ la fonction définie sur $I$ par :
$g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2} – \dfrac{2}{x}$
Etudier le sens de variations de la fonction $g$.
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Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[2~;~3]$.
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Déduire des questions précédentes un encadrement de $a$ d’amplitude $10^{ – 2}$.
Corrigé
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$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sqrt{x}=0$
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}=+\infty$ (car $x > 0$ sur $I$)
Par différence : $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)= – \infty$
La droite d’équation $x=0$, c’est à dire l’axe des ordonnées, est asymptote verticale à la courbe $\mathscr C_f.$
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$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0$
Donc, par somme: $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=+\infty$
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$f$ est dérivable sur $I= ]0~;~+\infty[$ comme différence de fonctions dérivables sur $I$.
La dérivée de la fonction $x\longmapsto\sqrt{x}$ est la fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
La dérivée de la fonction $x\longmapsto\dfrac{1}{x}$ est la fonction $x\longmapsto – \dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent :
$f ^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^2}$
$f^{\prime}$ est la somme de deux fonctions strictement positives sur $I$ donc est strictement positive sur $I$.
Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $I$.
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En s’aidant de la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs, on obtient le graphique ci-dessous :
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$(T)$ est la tangente à $\mathscr C_f$ au point d’abscisse $a$.
L’équation réduite de $\mathscr C_f$ est donc :
$y=f^{\prime}(a)(x – a)+f(a)$
Cette droite passe par le point $O(0;0)$ donc :
$0=f^{\prime}(a)(0 – a)+f(a)$
Or :
$f^{\prime}(a)(0 – a)+f(a) = – af^{\prime}(a)+f(a)$
$\phantom{f^{\prime}(a)(0 – a)+f(a)} = \dfrac{ – a}{2\sqrt{a}}+\dfrac{ – a}{a^2}+\sqrt{a} – \dfrac{1}{a}$
$\phantom{f^{\prime}(a)(0 – a)+f(a)} = \dfrac{ – \sqrt{a}}{2}+\dfrac{ – 1}{a}+\sqrt{a} – \dfrac{1}{a}$
$\phantom{f^{\prime}(a)(0 – a)+f(a)} = \dfrac{\sqrt{a}}{2} – \dfrac{2}{a}$
Par conséquent :
$\dfrac{\sqrt{a}}{2} – \dfrac{2}{a}=0$
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$g$ est dérivable sur $I$ comme différence de fonctions dérivables sur $I$ et :
$g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x^2}$
La fonction $g^{\prime}$ étant strictement positive sur $I$, $g$ est strictement croissante sur $I$.
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$g(2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} – 1 \approx – 0,3$
$g(3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{2}{3} \approx 0,2$
La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[2~;~3]$. $0$appartient à l’intervalle image $[g(2)~;~g(3)]$, donc d’après le théorème de la bijection (aussi appelé corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[2~;~3]$.
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Cette solution est aussi l’unique solution de cette équation sur l’intervalle $I$ du fait de la stricte croissance de la fonction $g$ sur $I$.
Or, d’après la question 5. on sait que $\dfrac{\sqrt{a}}{2} – \dfrac{2}{a}=0$ c’est à dire $g(a)=0$. Cette unique solution est donc $a$.
À la calculatrice, on trouve :
$g(2,51) \approx – 0,005 < 0$
$g(2,52) \approx 0,00008 > 0$
Par conséquent $2,51 \leqslant a \leqslant 2,52$.