Fonctions – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Pour comparer les aires des deux surfaces colorées, nous devons étudier la différence entre les deux fonctions $ f $ et $ g $.

On considère la fonction $ h $ définie sur $ [0~;~16] $ par $ h(x) = g(x) - f(x) $.

En remplaçant les expressions de $ f $ et $ g $, on obtient :

On sait que pour tout réel $ x $, $ -1 \le \cos(x) \le 1 $, donc $ 1 - \cos(x) \ge 0 $.

Ainsi, $ h(x) \ge 0 $ sur $ [0~;~16] $, ce qui signifie que $ g(x) \ge f(x) $ sur cet intervalle.

La courbe $ \mathscr{C}_g $ est donc toujours au-dessus de $ \mathscr{C}_f $ (ou les deux courbes sont confondues lorsque $ \cos(x) = 1 $).

Les points d'intersection des deux courbes correspondent aux valeurs de $ x $ pour lesquelles $ h(x) = 0 $, soit $ \cos(x) = 1 $.

Dans l'intervalle $ [0~;~16] $, ces valeurs sont $ x = 0 $, $ x = 2\pi $ et $ x = 4\pi $.

1. Calcul de la première aire $ S_1 $ :

   La première surface colorée est délimitée par les deux courbes entre $ x = 0 $ et $ x = 2\pi $.

   Son aire $ S_1 $ est donnée par l'intégrale :

   $ S_1 = \int_{0}^{2\pi} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos(x)) \, \mathrm{d}x $

   Une primitive de la fonction $ x \mapsto 1 - \cos(x) $ est $ x \mapsto x - \sin(x) $.

   On a donc :

   $ S_1 = \left[ x - \sin(x) \right]_{0}^{2\pi} = (2\pi - \sin(2\pi)) - (0 - \sin(0)) = 2\pi - 0 = 2\pi $

2. Calcul de la deuxième aire $ S_2 $ :

   La deuxième surface colorée est délimitée par les deux courbes entre $ x = 2\pi $ et $ x = 4\pi $.

   De la même manière, son aire $ S_2 $ est donnée par :

   $ S_2 = \int_{2\pi}^{4\pi} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x = \int_{2\pi}^{4\pi} (1 - \cos(x)) \, \mathrm{d}x $

   On a donc :

   $ S_2 = \left[ x - \sin(x) \right]_{2\pi}^{4\pi} = (4\pi - \sin(4\pi)) - (2\pi - \sin(2\pi)) = 4\pi - 2\pi = 2\pi $

On conclut que les deux aires sont égales à $ 2\pi $ unités d'aire.