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Suites – Bac S Métropole 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie sur $ \mathbb{N} $ par $ u_{0}=2 $ et pour tout entier naturel $ n $,

$ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}n+1. $
    1. Calculer $ u_{1}, u_{2}, u_{3} $ et $ u_{4} $. On pourra en donner des valeurs approchées à $ 10^{ - 2} $ près.
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel $ n $,

      $ u_{n} \leqslant n+3. $

    2. Démontrer que pour tout entier naturel $ n $,

      $ u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{1}{3} \left(n+3 - u_{n}\right). $
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.

  3. On désigne par $ \left(v_{n}\right) $ la suite définie sur $ \mathbb{N} $ par $ v_{n}=u_{n} - n $.

    1. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ \dfrac{2}{3} $.

    2. En déduire que pour tout entier naturel $ n $,

      $ u_{n}=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+n $
    3. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

  4. Pour tout entier naturel non nul $ n $, on pose:

    $ S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n} $

    et

    $ T_{n}=\dfrac{S_{n}}{n^{2}}. $
    1. Exprimer $ S_{n} $ en fonction de $ n $.
    2. Déterminer la limite de la suite $ \left(T_{n}\right) $.

Corrigé

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$ u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 $

    1. On calcule les premières valeurs de $u_n$ :

      $n$ 0 1 2 3 4
      $u_n$ 2 2,33 2,89 3,59 4,40
    2. On conjecture d'après le tableau précédent que la suite $(u_n)$ est croissante.

    1. On va démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

      $ u_n \leqslant n+3 $

      Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 2$ et $0+3=3$. On a bien $u_0 \leqslant 3$. La propriété est vraie au rang 0.

      Hérédité : Supposons que pour un entier $n \geqslant 0$ quelconque, on ait $u_n \leqslant n+3$.
      Montrons qu'alors $u_{n+1} \leqslant (n+1)+3$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leqslant n+4$.
      $u_n \leqslant n+3 \implies \dfrac{2}{3}u_n \leqslant \dfrac{2}{3}(n+3)$
      $\implies \dfrac{2}{3}u_n \leqslant \dfrac{2}{3}n + 2$
      $\implies \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 \leqslant \dfrac{2}{3}n + 2 + \dfrac{1}{3}n + 1$
      $\implies u_{n+1} \leqslant n+3$.
      Comme $n+3 < n+4$, on a bien $u_{n+1} \leqslant (n+1)+3$.
      La propriété est donc héréditaire.

      Conclusion : Pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant n+3$.

    2. Calculons la différence $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 - u_n$
      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}n + 1 - \dfrac{1}{3}u_n$

      $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n) $
    3. Puisque $u_n \leqslant n+3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on en déduit que $n+3-u_n \geqslant 0$.
      Par conséquent, $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
      La suite $(u_n)$ est donc croissante, ce qui valide la conjecture précédente.

  3. On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$.

    1. On calcule $v_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
      $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1)$
      $v_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1 - n - 1$
      $v_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n - \dfrac{2}{3}n$
      $v_{n+1} = \dfrac{2}{3}(u_n - n)$
      $v_{n+1} = \dfrac{2}{3}v_n$

      Ceci démontre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$.
      Son premier terme est $v_0 = u_0 - 0 = 2$.

    2. Par définition d'une suite géométrique, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

      $ v_n = 2 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n $

      Comme $v_n = u_n - n$, on en déduit que $u_n = v_n + n$, d'où :

      $ u_n = 2 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n $
    3. Comme $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$.
      De plus, $\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$.
      Par somme, on en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k$ et $T_n = \dfrac{S_n}{n^2}$.

    1. $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} (v_k + k) = \sum\limits_{k=0}^{n} v_k + \sum\limits_{k=0}^{n} k$.
      D'une part, $\sum\limits_{k=0}^{n} v_k$ est la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique :
      $\sum\limits_{k=0}^{n} v_k = 2 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1 - \dfrac{2}{3}} = 2 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{3}} = 6 \left[ 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} \right]$.

      D'autre part, $\sum\limits_{k=0}^{n} k$ est la somme des premiers entiers :
      $\sum\limits_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

      On obtient donc :

      $ S_n = 6 \left[ 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} \right] + \dfrac{n(n+1)}{2} $

    2. L'expression de $S_n$ peut se développer ainsi :
      $S_n = 6 - 6 \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{n}{2}$.
      Alors, $T_n = \dfrac{S_n}{n^2}$ devient :
      $T_n = \dfrac{6}{n^2} - \dfrac{6}{n^2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n}$.

      Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{n^2} = 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{n^2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2n} = 0$.
      On en déduit que :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} T_n = \dfrac{1}{2} $

(Solution rédigée par Paki)