QCM Géometrie dans l’espace – Bac S Centres étrangers 2013
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse. en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.} Dans l''espace muni d'un repère orthonormé, on considère
- les points $ A \left(12 ; 0 ; 0\right), B\left( 0 ; - 15 ; 0 \right), C\left( 0 ; 0 ; 20\right), D\left(2 ; 7 ; - 6 \right), E\left(7 ; 3 ; - 3\right) $ ;
- le plan $ \mathscr P $ d'équation cartésienne : $ 2x+y - 2z - 5=0 $
Affirmation 1
Une équation cartésienne du plan parallèle à $ \mathscr P $ et passant par le point $ A $ est :
$ 2x+y+2z - 24=0 $.
Affirmation 2
Une représentation paramétrique de la droite $ \left(AC\right) $ est :
$ \left\{ \begin{matrix} x = 9 - 3t \\ y = 0 \\ z = 5+5t \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R} $
Affirmation 3
La droite $ \left(DE\right) $ et le plan $ \mathscr P $ ont au moins un point commun.
Affirmation 4
La droite $ \left(DE\right) $ est orthogonale au plan $ \mathscr P $.
Corrigé
Affirmation 1 : FAUX
Le plan $ \mathscr P $ a pour vecteur normal $ \vec{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $. Tout plan $ \mathscr P' $ parallèle à $ \mathscr P $ possède le même vecteur normal et a donc une équation de la forme $ 2x + y - 2z + d = 0 $.
Le point $ A(12 ; 0 ; 0) $ appartient à $ \mathscr P' $ si ses coordonnées vérifient l'équation :
$ 2(12) + 0 - 2(0) + d = 0 \iff 24 + d = 0 \iff d = -24 $L'équation cartésienne du plan $ \mathscr P' $ est donc $ 2x + y - 2z - 24 = 0 $.
L'affirmation proposait l'équation $ 2x+y+2z - 24=0 $, elle est donc fausse.Affirmation 2 : VRAI
Une représentation paramétrique de la droite $ (AC) $ est :
$ \left\{ \begin{matrix} x = 12 - 12t \\ y = 0 \\ z = 20t \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R} $On vérifie aisément que les coordonnées de $ A $ et $ C $ sont solutions du système proposé dans l'énoncé :
$ \left\{ \begin{matrix} x = 9 - 3t \\ y = 0 \\ z = 5+5t \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R} $- Pour $ t = -1 $, on obtient $ x = 9 - 3(-1) = 12, y = 0, z = 5 + 5(-1) = 0 $, soit le point $ A $.
- Pour $ t = 3 $, on obtient $ x = 9 - 3(3) = 0, y = 0, z = 5 + 5(3) = 20 $, soit le point $ C $.
Affirmation 3 : FAUX
Le vecteur $ \overrightarrow{DE} $ a pour coordonnées $ \begin{pmatrix} 7 - 2 \\ 3 - 7 \\ -3 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} $.
Une représentation paramétrique de la droite $ (DE) $ est :$ \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 5t \\ y = 7 - 4t \\ z = -6 + 3t \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R} $On cherche l'intersection avec le plan $ \mathscr P $ :
$ 2(2 + 5t) + (7 - 4t) - 2(-6 + 3t) - 5 = 0 \iff 4 + 10t + 7 - 4t + 12 - 6t - 5 = 0 \iff 18 = 0 $Cette équation n'a pas de solution. La droite et le plan n'ont aucun point commun.
Affirmation 4 : FAUX
De ce qui précède, on déduit que la droite $ (DE) $ est strictement parallèle au plan $ \mathscr P $ car ils n'ont aucun point commun. Le vecteur directeur $ \overrightarrow{DE} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} $ n'est pas colinéaire au vecteur normal $ \vec{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $ du plan :
$ \dfrac{5}{2} \neq \dfrac{-4}{1} $La droite n'est donc pas orthogonale au plan.
(Solution rédigée par Paki)