Exercice 2 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.$
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On considère l’algorithme suivant :
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de $n$ Affecter à $u$ la valeur 1 Traitement : Pour $i$ variant de 1 à $n$ : $\quad$Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$ Fin de Pour Sortie : Afficher $u$ -
Donner une valeur approchée à $10^{ – 4}$ près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit $n=3$.
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Que permet de calculer cet algorithme?
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Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
$n$ 1 5 10 15 20 Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
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Démontrer que, pour tout entier naturel $n, 0 < u_{n}\leqslant 2$.
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Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
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On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=\ln u_{n} – \ln 2$.
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Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme
$v_{0} = – \ln 2$.
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Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
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Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
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Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel Initialisation : Affecter à $n$ la valeur $0$ Affecter à $u$ la valeur 1 Traitement : … Sortie : …
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