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Suites – Bac S Liban 2013

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par

$ \left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\dfrac{9}{6 - v_{n}}\end{matrix}\right. $

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $ n $ donné, tous les termes de la suite, du rang $ 0 $ au rang $ n $.

    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

    Algorithme N° 1

    Variables : $ v $ est un réel
      $ i $ et $ n $ sont des entiers naturels
    Début : Lire $ n $
      $ v $ prend la valeur $ 1 $
      Pour $ i $ variant de $ 1 $ à $ n $ faire
      $ \quad v $ prend la valeur $ \dfrac{9}{6 - v} $
      Fin pour
      Afficher $ v $

    Algorithme N° 2

    Variables : $ v $ est un réel
      $ i $ et $ n $ sont des entiers naturels
    Début : Lire $ n $
      Pour $ i $ variant de $ 1 $ à $ n $ faire
      $ \quad v $ prend la valeur $ 1 $
      $ \quad $ Afficher $ v $
      $ \quad v $ prend la valeur $ \dfrac{9}{6 - v} $
      Fin pour

    Algorithme N° 3

    Variables : $ v $ est un réel
      $ i $ et $ n $ sont des entiers naturels
    Début : Lire $ n $
      $ v $ prend la valeur $ 1 $
      Pour $ i $ variant de $ 1 $ à $ n $ faire
      $ \quad $ Afficher $ v $
      $ \quad v $ prend la valeur $ \dfrac{9}{6 - v} $
      Fin pour

  2. Pour $ n=10 $ on obtient l'affichage suivant :

    1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

    Pour $ n=100 $, les derniers termes affichés sont :

    2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $ : $ 0 < v_{n} < 3 $.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $ n $ : $ v_{n+1} - v_{n}=\dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^{2}}{6 - v_{n}} $.

      La suite $ \left(v_{n}\right) $ est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite $ \left(v_{n}\right) $

On considère la suite $ \left(w_{n}\right) $ définie pour tout $ n $ entier naturel par

$ w_{n}=\dfrac{1}{v_{n} - 3}. $

  1. Démontrer que $ \left(w_{n}\right) $ est une suite arithmétique de raison $ - \dfrac{1}{3} $
  2. En déduire l'expression de $ \left(w_{n}\right) $, puis celle de $ \left(v_{n}\right) $ en fonction de $ n $.
  3. Déterminer la limite de la suite $ \left(v_{n}\right) $.

Corrigé

Partie A

  1. C'est l'algorithme N° 3 qui convient.
    L'algorithme N° 1 n'affiche que $ v_n $ (le dernier terme calculé) et l'algorithme N° 2 n'affiche que des 1 (car $ v $ est réinitialisé à 1 à chaque itération).
  2. D'après les valeurs données dans l'énoncé, on peut conjecturer que la suite $ (v_n) $ est croissante et convergente (vers 3).

    1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $ : $ 0 < v_n < 3 $.

      • Initialisation : Pour $ n=0 $, $ v_0 = 1 $, donc $ 0 < v_0 < 3 $. La propriété est vraie au rang 0.
      • Hérédité : Supposons que pour un certain entier naturel $ n $, on ait $ 0 < v_n < 3 $.
        Alors :
        $ 0 < v_n < 3 \Rightarrow 0 > -v_n > -3 $
        $ \Rightarrow 6 > 6 - v_n > 3 $
        $ \Rightarrow \dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_n} < \dfrac{1}{3} $
        $ \Rightarrow \dfrac{9}{6} < \dfrac{9}{6 - v_n} < \dfrac{9}{3} $
        $ \Rightarrow \dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3 $
        Comme $ 0 < \dfrac{3}{2} $, on a bien $ 0 < v_{n+1} < 3 $.
        La propriété est donc héréditaire.
      • Conclusion : Pour tout entier naturel $ n $, $ 0 < v_n < 3 $.
    2. $ v_{n+1} - v_n = \dfrac{9}{6 - v_n} - v_n = \dfrac{9 - v_n(6 - v_n)}{6 - v_n} = \dfrac{9 - 6v_n + v_n^2}{6 - v_n} = \dfrac{(3 - v_n)^2}{6 - v_n} $.
      Comme $ 0 < v_n < 3 $, on a $ 6 - v_n > 3 > 0 $ et $ (3 - v_n)^2 > 0 $.
      Donc $ v_{n+1} - v_n > 0 $, ce qui prouve que la suite $ (v_n) $ est croissante.
    3. La suite $ (v_n) $ est croissante et majorée par 3, elle est donc convergente.
      Soit $ l $ sa limite, on a $ 0 < l \leqslant 3 $.

Partie B

  1. Calculons $ w_{n+1} $ en fonction de $ w_n $ :
    $ w_{n+1} = \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{6 - v_n} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9 - 3(6 - v_n)}{6 - v_n}} = \dfrac{6 - v_n}{9 - 18 + 3v_n} = \dfrac{6 - v_n}{3v_n - 9} = \dfrac{-(v_n - 6)}{3(v_n - 3)} $
    $ w_{n+1} = \dfrac{-(v_n - 3 - 3)}{3(v_n - 3)} = \dfrac{-(v_n - 3) + 3}{3(v_n - 3)} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{v_n - 3} = w_n - \dfrac{1}{3} $.
    La suite $ (w_n) $ est donc une suite arithmétique de raison $ r = -\dfrac{1}{3} $.

  2. Le premier terme est $ w_0 = \dfrac{1}{v_0 - 3} = \dfrac{1}{1 - 3} = -\dfrac{1}{2} $.
    On en déduit que $ w_n = w_0 + nr = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n = \dfrac{-3 - 2n}{6} = -\dfrac{2n + 3}{6} $.
    Comme $ w_n = \dfrac{1}{v_n - 3} $, on a $ v_n - 3 = \dfrac{1}{w_n} $, d'où :

    $ v_n = \dfrac{1}{w_n} + 3 = -\dfrac{6}{2n + 3} + 3 $

  3. $ \lim\limits_{n \to +\infty} (2n + 3) = +\infty $, donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{2n + 3} = 0 $.
    On en déduit que :

    $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 3 $

(Solution rédigée par Paki)