Probabilités Variables aléatoires – Bac S Liban 2008
Exercice 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
- 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.
- Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.
- Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes
On désigne par E l'évènement "les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation " et par V l'évènement "les sacs contiennent des pommes de variétés différentes".
L'évènement contraire de l'évènement A sera noté $ \overline{A} $.
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
- Traduire les trois données de l'énoncé en termes de probabilités.
- Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
- Définir par une phrase l'évènement $ E \cap V $ puis calculer sa probabilité.
- Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale à $ 0,205 $.
- Le sac acheté contient des pommes d'une seule variété.
Calculer la probabilité qu'il ait été acheté directement sur l'exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 près. - Des producteurs, interrogés lors de l'enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs. Chaque sac, qu'il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l'exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés.
Calculer le montant total des ventes qu'ils peuvent prévoir.
Corrigé
Traduisons les données de l'énoncé en termes de probabilités :
- "15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole" : $ p(E) = 0,15 $.
- "Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes" : $ p_E(V) = 0,8 $.
- "Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes" : $ p_{\overline{E}}(V) = 0,1 $.
Arbre pondéré traduisant la situation :
L'évènement $ E \cap V $ est : "le sac est vendu sur l'exploitation et contient des variétés différentes".
Sa probabilité est :
$ p(E \cap V) = p(E) \times p_E(V) = 0,15 \times 0,8 = 0,12 $.D'après la formule des probabilités totales :
$ p(V) = p(E \cap V) + p(\overline{E} \cap V) $
$ p(V) = p(E) \times p_E(V) + p(\overline{E}) \times p_{\overline{E}}(V) $
$ p(V) = 0,12 + 0,85 \times 0,1 = 0,12 + 0,085 = 0,205 $.
La probabilité que le sac contienne des pommes de variétés différentes est bien $ 0,205 $.
On cherche la probabilité conditionnelle $ p_{\overline{V}}(E) $.
$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{p(E \cap \overline{V})}{p(\overline{V})} $Or $ p(\overline{V}) = 1 - p(V) = 1 - 0,205 = 0,795 $.
Et $ p(E \cap \overline{V}) = p(E) \times p_E(\overline{V}) = 0,15 \times 0,2 = 0,03 $.
Donc :
$ p_{\overline{V}}(E) = \dfrac{0,03}{0,795} \approx 0,038 $.La probabilité que le sac provienne de l'exploitation sachant qu'il ne contient qu'une variété est environ $ 0,038 $.
Calculons d'abord le nombre de sacs vendus sur l'exploitation et en supermarché :
- Nombre de sacs sur l'exploitation : $ 45\,000 \times 0,15 = 6\,750 $ sacs.
- Nombre de sacs en supermarché : $ 45\,000 \times 0,85 = 38\,250 $ sacs.
Le montant total des ventes est :
$ M = 6\,750 \times 0,80 + 38\,250 \times 3,40 $
$ M = 5\,400 + 130\,050 = 135\,450 $ euros.
Le montant total des ventes prévisible est de $ 135\,450 $ euros.