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Intégrales Encadrements – Bac S Amérique du Nord 2008

Exercice 4

7 points - Commun à tous les candidats

Partie A

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b $.

  • Si $ u > 0 $ sur $ \left[a, b\right] $ alors $ \int_{a}^{b} u\left(x\right)\text{d}x \geqslant 0 $.
  • Pour tous réels $ \alpha $ et $ \beta $, $ \int_{a}^{b} \left[\alpha u\left(x\right)+\beta v\left(x\right)\right] \text{d}x=\alpha \int_{a}^{b} u\left(x\right) \text{d}x+\beta \int_{a}^{b} v\left(x\right) \text{d}x. $

    Démontrer que si $ f $ et g sont deux fonctions continues sur un intervalle $ \left[a, b\right] $ avec $ a < b$ et si, pour tout $ x $ de $ \left[a, b\right] $, $ f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right) $ alors $ \int_{a}^{b} f\left(x\right) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g\left(x\right) \text{d}x $.

Partie B

On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left[0, +\infty \right[ $ par : $ f\left(x\right)=x+\ln\left(1+e^{ - x}\right) $. Sa courbe représentative $ C $ ainsi que la droite $ D $ d'équation $ y=x $ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

Intégrales Encadrements
  1. Montrer que $ f $ est croissante et positive sur $ \left[0 , +\infty \right[ $.
    1. Montrer que la courbe $ C $ admet pour asymptote la droite D.
    2. Etudier la position de $ C $ par rapport à D.

  3. Soit $ I $ l'intégrale définie par : $ I= \int_{0}^{1} \ln\left(1+e^{ - x}\right) \text{d}x= \int_{0}^{1} \left[f\left(x\right) - x\right] \text{d}x $. On ne cherchera pas à calculer $ I $.

    1. Donner une intérprétation géométrique de $ I $.
    2. Montrer que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \ln\left(1+t\right) \leqslant t $.

      (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur $ \left[0,+\infty \right[ $ par $ g\left(t\right)=\ln\left(1+t\right) - t $)

      On admettra que pour tout réel $ t \geqslant 0 $, on a $ \dfrac{t}{t+1} \leqslant \ln\left(1+t\right) $.
    3. En déduire que pour tout $ x $ de $ \left[0 , +\infty \right[ $, on a : $ \dfrac{e^{ - x}}{e^{ - x}+1} \leqslant \ln\left(1+e^{ - x}\right) \leqslant e^{ - x} $.
    4. Montrer que $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{ - 1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{ - 1} $.
    5. En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
  4. On désigne par M et N les points de même abscisse $ x $ appartenant respectivement à $ C $ et D.

    On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.

    Déterminer l'ensemble des valeurs de $ x $ pour lesquelles M et N sont indiscernables.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Corrigé

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Démontrons que si $ f $ et $ g $ sont deux fonctions continues sur un intervalle $ [a, b] $ avec $ a < b $ et si, pour tout $ x $ de $ [a, b] $, $ f(x) \leqslant g(x) $ alors $ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $.

Posons $ F(x) = g(x) - f(x) $.

Comme $ f(x) \leqslant g(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $, on a $ F(x) \geqslant 0 $.

D'après le résultat (1), on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} F(x) \text{d}x = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x \geqslant 0 $

D'après le résultat (2), sur la linéarité de l'intégrale, on peut écrire :

$ \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \text{d}x = \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x - \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \geqslant 0 $

D'où :

$ \int_{a}^{b} f(x) \text{d}x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \text{d}x $

Partie B

  1. La fonction $ f $ est définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ f(x) = x + \ln(1+e^{-x}) $.

    Sur $ [0, +\infty [ $, on a $ e^{-x} > 0 \implies 1+e^{-x} > 1$, d'où $ \ln(1+e^{-x}) > \ln(1) > 0 $.

    Comme $ x \geqslant 0 $, on en déduit que $ f(x) > 0 $. $ f $ est donc positive sur $ [0, +\infty [ $.

    Calculons la dérivée de $ f $ :

    $ f'(x) = 1 + \dfrac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1+e^{-x}-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \dfrac{1}{1+e^{-x}} $

    $ f'(x) $ est strictement positive sur $ [0, +\infty [ $ car $ 1+e^{-x} > 0 $.

    Par conséquent, $ f $ est croissante sur $ [0, +\infty [ $.

    1. Étudions la limite de $ f(x) - x $ quand $ x \to +\infty $ :

      $ \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) $

      Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $, on a $ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln(1+e^{-x}) = \ln(1) = 0 $.

      La courbe $ C $ admet donc pour asymptote la droite $ D $ d'équation $ y = x $ au voisinage de $ +\infty $.

    2. Pour tout réel $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.

      Comme $ 1+e^{-x} > 1 $ pour tout $ x $, on a $ \ln(1+e^{-x}) > 0 $.

      On en conclut que la courbe $ C $ est située au-dessus de la droite $ D $ sur l'intervalle $ [0, +\infty [ $.

  3. $ I = \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x = \int_{0}^{1} [f(x) - x] \text{d}x $.

    1. D'après la question précédente, $ f(x) - x \geqslant 0 $.

      $ I $ représente donc l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $ C $, la droite $ D $ et les droites d'équations $ x=0 $ et $ x=1 $.

    2. Soit $ g $ la fonction définie sur $ [0, +\infty [ $ par $ g(t) = \ln(1+t) - t $.

      $ g $ est dérivable sur $ [0, +\infty [ $ et $ g'(t) = \dfrac{1}{1+t} - 1 = \dfrac{1-(1+t)}{1+t} = \dfrac{-t}{1+t} $.

      Pour $ t > 0 $, $ g'(t) < 0 $, donc $ g $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $.

      Comme $ g(0) = \ln(1) - 0 = 0 $, on en déduit que pour tout $ t \geqslant 0 $, $ g(t) \leqslant 0 $, soit :

      $ \ln(1+t) \leqslant t $

    3. Pour tout $ x \in [0, +\infty [ $, on a $ 0 < e^{-x} \leqslant 1 $.

      En utilisant l'inégalité précédente et celle admise dans l'énoncé avec $ t = e^{-x} $, on obtient :

      $ \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \leqslant \ln(1+e^{-x}) \leqslant e^{-x} $

    4. En intégrant l'encadrement précédent sur l'intervalle $ [0, 1] $ (les fonctions étant continues et $ 0 < 1 $), d'après la PARTIE A, on a :

      $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} \ln(1+e^{-x}) \text{d}x \leqslant \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $

      Calculons les intégrales aux bornes :

    5. Pour $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x $, on reconnaît la forme $ -\dfrac{u'}{u} $ avec $ u(x) = e^{-x}+1 $.

      Une primitive est $ P(x) = -\ln(e^{-x}+1) $.

      $ \int_{0}^{1} \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \text{d}x = [-\ln(e^{-x}+1)]_0^1 = -\ln(e^{-1}+1) + \ln(2) = \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) $

    6. Pour $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x $, une primitive est $ Q(x) = -e^{-x} $.

      $ \int_{0}^{1} e^{-x} \text{d}x = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1} $

      On en déduit l'encadrement :

      $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \leqslant I \leqslant 1 - e^{-1} $

    7. À l'aide d'une calculatrice, on trouve :

      $ \ln\left(\dfrac{2}{1+e^{-1}}\right) \approx 0,38 $ et $ 1 - e^{-1} \approx 0,63 $.

      Un encadrement de $ I $ d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux est par exemple :

      $ 0,3 \leqslant I \leqslant 0,7 $

  4. La distance $ MN $ est égale à $ f(x) - x = \ln(1+e^{-x}) $.

    L'unité graphique est 2 cm, donc 0,5 mm correspond à $ 0,05 / 2 = 0,025 $ unité.

    On cherche $ x $ tel que $ \ln(1+e^{-x}) \leqslant 0,025 $.

    Résolvons l'équation $ \ln(1+e^{-x}) = 0,025 $ :

    $ 1+e^{-x} = e^{0,025} \iff e^{-x} = e^{0,025} - 1 \iff -x = \ln(e^{0,025} - 1) \iff x = -\ln(e^{0,025} - 1) = \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $.

    Comme la fonction $ x \mapsto \ln(1+e^{-x}) $ est strictement décroissante sur $ [0, +\infty [ $, l'ensemble des valeurs de $ x $ est :

    $ x \geqslant \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) $

    À la calculatrice, $ \ln\left(\dfrac{1}{e^{0,025} - 1}\right) \approx 3,676 $.

    Les points $ M $ et $ N $ sont donc indiscernables pour $ x \geqslant 3,68 $ environ.

(Solution rédigée par Paki)