Suites – Bac ES/L Métropole 2014
Exercice 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de 1 500 m$ ^{2} $ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$ ^{2} $ et la remplace par du gazon.
Pour tout nombre entier naturel $ n $, on note $ u_{n} $ la surface en m$ ^{2} $ de terrain engazonné au bout de $ n $ années, c'est-à-dire à l'automne $ 2010+n $. On a donc $ u_{0}=1 500 $.
- Calculer $ u_{1} $.
- Justifier que, pour tout nombre entier naturel $ n, u_{n+1}= 0,8 u_{n} + 50 $.
On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout nombre entier naturel $ n $ par: $ v_{n}=u_{n} - 250 $.
- Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
Exprimer $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n, u_{n}=250 + 1 250\times 0,8^{n} $.
- Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années
Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $ n $ telle que :
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 $Interpréter le résultat obtenu.
Compléter l'algorithme fourni ci-dessous pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente
Initialisation : $ u $ prend la valeur 1 500 $ n $ prend la valeur 0 Traitement : Tant que . . . . . . . faire $ \quad \quad \quad \quad u $ prend la valeur . . . . . . $ \quad \quad \quad \quad n $ prend la valeur . . . . . . Fin Tant que Sortie : Afficher $ n $
Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Corrigé
- $ u_{1}=\left(1 - \dfrac{20}{100}\right)u_{0}+50=0,8\times 1500+50=1250 $
«20% de la surface engazonnée est détruite» $ \rightarrow $ on multiplie par le coefficient multiplicateur $ CM = \left(1 - \dfrac{20}{100}\right)=0.8 $.
«Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$ ^{2} $ et la remplace par du gazon»$ \rightarrow $ on ajoute 50
Donc $ u_{n+1}=0,8u_{n}+50 $
$ v_{n+1} = u_{n+1} - 250 $ (d'après la définition de la suite $ v $)
$ v_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50 - 250 $ (d'après la définition de la suite $ u $)
$ v_{n+1} = 0,8 u_{n} - 200 $
$ v_{n+1} = 0,8 \left(v_{n} + 250\right) - 200 $(car $ v_{n}=u_{n} - 250 \Rightarrow u_{n}=v_{n}+250 $)
$ v_{n+1} = 0,8 v_{n} $
La suite $ \left(v_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=0,8 $. Son premier terme est :
$ v_{0}=u_{0} - 250=1250 $
On utilise la formule $ v_{n}=v_{0}\times q^{n} $ qui donne ici :
$ v_{n}=1250\times 0,8^{n} $
On en déduit que :
$ u_{n}=v_{n}+250=1250\times 0,8^{n}+250 $
La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est :
$ u_{4}=1250\times 0,8^{4}+250=762 \text{m}^{2} $
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 1250\times 0,8^{n} < 500 - 250 $
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \dfrac{250}{1250} $
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0,8^{n} < \dfrac{1}{5} $
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow \ln\left(0,8^{n}\right) < \ln\left(\dfrac{1}{5}\right) $ (car la fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $)
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n \ln\left(0,8\right) < - \ln\left(5\right) $
$ 250+1250\times 0,8^{n} < 500 \Leftrightarrow n > - \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)} $
Il faut penser à changer le sens de l'inégalité car $ \ln\left(0,8\right) $ est négatif !
Comme $ - \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0,8\right)} \approx 7,2 $, la plus petite valeur de $ n $ telle que $ u_{n} < 500 $ est$ 8 $ .
Initialisation : $ u $ prend la valeur 1 500 $ n $ prend la valeur 0 Traitement : Tant que $ \color{red}{u \geqslant 500} $ faire $ \quad \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ \color{red}{0,8u+50} $ $ \quad \quad \quad \quad n $ prend la valeur $ \color{red}{n+1} $ Fin Tant que Sortie : Afficher $ n $ L'égalité $ u_{n}=1250\times 0,8^{n}+250 $ montre que pour tout entier $ n $, $ u_{n} > 250 $ (car $ 1250\times 0,8^{n} > 0 $)
La surface de terrain engazonné sera donc toujours supérieure à 250 m$ ^{2} $ et Claude a donc raison.