Suites – Bac ES/L Pondichéry 2014
Exercice 2 (5 points)
Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L
Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.
Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d'une année restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.
La situation peut être modélisée par une suite $ \left(u_{n}\right) $ admettant pour premier terme $ u_{0}=115 $, le terme $ u_{n} $ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $ 2013+n $.
- Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?
Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme.
Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 3 permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1er janvier de l'année $ 2013+n $.
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.
$ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Saisir une valeur pour $ N $ Affecter $ 115 $ à $ U $ Pour $ i $ de $ 1 $ à $ N $ faire $ \quad \quad \quad $Affecter $ 0,6 \times U+120 $ à $ U $ Fin Pour Afficher $ U $ Algorithme 1
$ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Saisir une valeur pour $ N $ Pour $ i $ de $ 1 $ à $ N $ faire $ \quad \quad \quad $Affecter $ 115 $ à $ U $ $ \quad \quad \quad $Affecter $ 0,4 \times U+115 $ à $ U $ Fin Pour Afficher $ U $ Algorithme 2
$ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Saisir une valeur pour $ N $ Affecter $ 115 $ à $ U $ Pour $ i $ de $ 1 $ à $ N $ faire $ \quad \quad \quad $Affecter $ 0,4 \times U+115 $ à $ U $ Fin Pour Afficher $ U $ Algorithme 3
- Donner, pour tout entier naturel $ n $, l'expression de $ u_{n+1} $ en fonction de $ u_{n} $
On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_{n}=u_{n} - 200 $.
- Montrer que $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ 0,4 $. Préciser $ v_{0} $.
- Exprimer, pour tout entier naturel $ n, v_{n} $ en fonction de $ n $.
- En déduire que pour tout entier naturel $ n, u_{n}=200 - 85 \times 0,4^{n} $.
- La capacité d'accueil du centre est de $ 200 $ oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse
Chaque année, le centre touche une subvention de $ 20 $ euros par oiseau présent au 1er janvier.
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1er janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période.
Corrigé
D'après l'énoncé, le premier terme est $ u_{0}=115 $.
Chaque année, 40 % des oiseaux présents restent, ce qui correspond à un coefficient de $ 0,4 $, et 120 oiseaux nouveaux sont accueillis.
On calcule les termes suivants :
$ u_{1} = 115 \times 0,4 + 120 = 46 + 120 = 166 $
$ u_{2} = 166 \times 0,4 + 120 = 66,4 + 120 = 186,4 $S'agissant d'une estimation d'un nombre d'oiseaux, il convient de donner ces résultats à l'unité près. On peut donc estimer qu'il y aura 166 oiseaux en 2014 et environ 186 oiseaux en 2015.
- Analysons les algorithmes proposés :
Algorithme 1 : Il utilise un coefficient de 0,6 au lieu de 0,4 (ce qui correspondrait à 60 % d'oiseaux restants).
Algorithme 2 : L'affectation de la valeur initiale ($ 115 \to U $) est placée à l'intérieur de la boucle. Ainsi, à chaque itération, $ U $ est réinitialisé et l'algorithme ne calcule pas les termes successifs.
Algorithme 3 : C'est le seul qui convient car il initialise $ U $ à $ u_0 $ avant la boucle et applique correctement la structure de la relation de récurrence (on notera une légère erreur dans le texte de l'algorithme affichant "+ 115" au lieu de "+ 120"). Pour tout entier naturel $ n $, le nombre d'oiseaux l'année $ n+1 $ est égal à 40 % du nombre d'oiseaux l'année $ n $ plus les 120 nouveaux arrivants :
$ u_{n+1} = 0,4u_{n} + 120 $
- Analysons les algorithmes proposés :
Pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_{n}=u_{n} - 200 $, d'où $ u_{n} = v_{n} + 200 $.
Calculons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $ :
$ v_{n+1} = u_{n+1} - 200 $
$ v_{n+1} = (0,4u_{n} + 120) - 200 $
$ v_{n+1} = 0,4(v_{n} + 200) - 80 $
$ v_{n+1} = 0,4v_{n} + 80 - 80 $
$ v_{n+1} = 0,4v_{n} $La suite $ \left(v_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0,4 $.
Son premier terme est :$ v_{0} = u_{0} - 200 = 115 - 200 = - 85 $Puisque $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique, son terme général est $ v_{n} = v_{0} \times q^{n} $.
Pour tout entier naturel $ n $ :$ v_{n} = - 85 \times 0,4^{n} $On sait que $ u_{n} = v_{n} + 200 $, donc :
$ u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^{n} $Étudions la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $ quand $ n $ tend vers l'infini.
Comme $ - 1 < 0,4 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,4^{n} = 0 $.
On en déduit :$ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 200 $Comme $ 85 \times 0,4^{n} > 0 $ pour tout $ n $, on a $ u_{n} < 200 $.
Le nombre d'oiseaux s'approche de 200 par valeurs inférieures. La capacité d'accueil de 200 oiseaux est donc suffisante.
La subvention est de 20 € par oiseau présent au 1er janvier.
Les années concernées sont de 2013 ($ n=0 $) à 2018 ($ n=5 $).
Il faut sommer le nombre d'oiseaux présents chaque 1er janvier et multiplier par 20.
$ u_0 = 115 $
$ u_1 = 166 $
$ u_2 = 186,4 $
$ u_3 = 200 - 85 \times 0,4^3 = 194,56 $
$ u_4 = 200 - 85 \times 0,4^4 = 197,824 $
$ u_5 = 200 - 85 \times 0,4^5 = 199,1296 $La somme des oiseaux est égale à $ 1058,9136 $.
Le montant total des subventions est donc :$ 1058,9136 \times 20 = 21178,272 \text{ €} $Le centre percevra environ 21 178 € de subventions sur cette période.