Logo maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr
Connexion Inscription
edit_note Exercices 40 min
Non commencé

Lois continues – Bac ES/L Centres étrangers 2013

Exercice 4   (4 points)

Commun à tous les candidats

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

  1. Paul se connecte sur le site. La durée $ D $ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $ \left[20 ; 120\right] $.

    1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
    2. Calculer l'espérance mathématique de $ D $. Interpréter ce résultat

  2. L'équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer. La durée $ J $ (en minute) d'une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale $ \mathscr N \left(120, 400\right) $.

    1. Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $ J $.
    2. Montrer l'équivalence : $ 90 < J < 180 \Leftrightarrow - 1,5 < \dfrac{J - 120}{20} < 3 $

    3. On définit la variable aléatoire $ X $ par $ X =\dfrac{J - 120}{20} $.

      Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $ X $.

    4. Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes, à 0,001 près

Corrigé

  1. La variable aléatoire $ D $ suit une loi uniforme sur l'intervalle $ [20 ; 120] $.

    1. La probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes correspond à la probabilité que la durée $ D $ soit inférieure ou égale à 60 secondes. Comme $ D \in [20 ; 120] $, on cherche $ P(20 \le D \le 60) $.

      Pour une loi uniforme sur $ [a ; b] $, la probabilité $ P(c \le D \le d) $ est donnée par $ \dfrac{d - c}{b - a} $. Ici $ a = 20 $, $ b = 120 $, $ c = 20 $ et $ d = 60 $.

      $ P(D \le 60) = \dfrac{60 - 20}{120 - 20} = \dfrac{40}{100} = 0,4 $

      La probabilité que les joueurs soient réunis au bout de 60 secondes est de $ 0,4 $.

    2. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $ [a ; b] $ est donnée par $ E(D) = \dfrac{a + b}{2} $.

      $ E(D) = \dfrac{20 + 120}{2} = \dfrac{140}{2} = 70 $

      En moyenne, le temps nécessaire pour réunir les quatre joueurs est de 70 secondes.

  2. La variable aléatoire $ J $ suit la loi normale $ \mathscr N(120, 400) $.

    1. Par identification avec la notation $ \mathscr N(\mu, \sigma^2) $, on a :

      • L'espérance : $ \mu = 120 $.
      • La variance : $ \sigma^2 = 400 $, donc l'écart-type est $ \sigma = \sqrt{400} = 20 $.

      L'espérance de $ J $ est de 120 minutes et son écart-type est de 20 minutes.

    2. Partons de l'encadrement $ 90 < J < 180 $ :

      En soustrayant l'espérance $ \mu = 120 $ à chaque membre, on obtient :

      $ 90 - 120 < J - 120 < 180 - 120 $
      $ - 30 < J - 120 < 60 $

      En divisant chaque membre par l'écart-type $ \sigma = 20 $ (qui est positif), le sens des inégalités ne change pas :

      $ \dfrac{- 30}{20} < \dfrac{J - 120}{20} < \dfrac{60}{20} $

      On obtient bien l'équivalence :

      $ 90 < J < 180 \Leftrightarrow - 1,5 < \dfrac{J - 120}{20} < 3 $

    3. On sait que si une variable aléatoire $ J $ suit une loi normale $ \mathscr N(\mu, \sigma^2) $, alors la variable aléatoire $ X = \dfrac{J - \mu}{\sigma} $ suit la loi normale centrée réduite.

      Ici $ \mu = 120 $ et $ \sigma = 20 $, donc $ X = \dfrac{J - 120}{20} $.

      La variable aléatoire $ X $ suit la loi normale centrée réduite $ \mathscr N(0, 1) $.

    4. On cherche $ P(90 \le J \le 180) $. D'après la question 2.b., cela revient à calculer :

      $ P(90 \le J \le 180) = P(- 1,5 \le X \le 3) $

      À l'aide d'une calculatrice (ou d'une table de loi normale), on trouve :

      $ P(- 1,5 \le X \le 3) \approx 0,932 $

      La probabilité que la partie dure entre 90 et 180 minutes est environ de $ 0,932 $.