Loi normale – Bac ES/L Polynésie 2013
Exercice 4 (5 points)
Commun à tous les candidats
On s'intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
A . Etude de la zone 1
On note $ X $ la variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire $ X $ suit une loi normale de moyenne $ \mu $ et d'écart type $ \sigma =30 $. La courbe de la densité de probabilité associée à $ X $ est représentée ci-dessous.
- Par lecture graphique, donner la valeur de $ \mu $.
- On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $ 10^{ - 2} $, d'avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.
Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.
On pêche un poisson de l'espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à $ 10^{ - 2} $, de pêcher un poisson adulte.
On considère un nombre $ k $ strictement plus grand que la valeur moyenne $ \mu $.
Est-il vrai que $ P\left(X < k\right) < 0,5 $ ? Justifier.
B . Etude de la zone 2
Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.
- Calculer la fréquence $ f $ de poissons malades dans l'échantillon.
- Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95%, de la proportion $ p $ de poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.
Soit $ Y $ la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l'espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire $ Y $ suit la loi normale de moyenne $ \mu ^{\prime} =205 $ et d'écart type $ \sigma ^{\prime}=40 $.
En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d'écart type $ \sigma =30 $, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire $ Y $. Justifier la réponse.
Corrigé
A . Etude de la zone 1
La variable aléatoire $ X $ suit une loi normale.
La courbe de densité est une courbe en cloche dont le sommet a pour abscisse l'espérance $ \mu $.
Par lecture graphique, on observe que le sommet de la courbe est atteint pour $ x = 180 $.$ \mu = 180 $On cherche la probabilité $ P(150 \le X \le 210) $.
On remarque que :
$ 150 = 180 - 30 = \mu - \sigma $
$ 210 = 180 + 30 = \mu + \sigma $
D'après le cours, pour une variable aléatoire suivant une loi normale, $ P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0,683 $.
À l'aide de la calculatrice, on obtient en arrondissant à $ 10^{-2} $ :$ P(150 \le X \le 210) \approx 0,68 $On cherche la probabilité $ P(X > 120) $ qu'un poisson soit adulte.
On remarque que $ 120 = 180 - 2 \times 30 = \mu - 2\sigma $.
D'après le cours, $ P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0,954 $.
La courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $ x = \mu $, on a :
$ P(X > \mu - 2\sigma) = P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu) + P(X > \mu) $
$ P(X > \mu - 2\sigma) \approx \dfrac{0,954}{2} + 0,5 \approx 0,477 + 0,5 \approx 0,977 $
À l'aide de la calculatrice, on trouve en arrondissant à $ 10^{-2} $ :$ P(X > 120) \approx 0,98 $- C'est faux.
Comme $ X $ suit une loi normale de moyenne $ \mu $, la probabilité d'être inférieur à la moyenne est de 0,5 :
$ P(X < \mu) = 0,5 $
Si $ k > \mu $, alors l'événement $ \{X < \mu\} $ est inclus dans l'événement $ \{X < k\} $.
Par conséquent, $ P(X < k) > P(X < \mu) $, soit $ P(X < k) > 0,5 $.
B . Etude de la zone 2
La fréquence $ f $ de poissons malades dans l'échantillon est le rapport du nombre de poissons malades sur la taille de l'échantillon :
$ f = \dfrac{15}{50} = 0,3 $Vérifions les conditions d'application pour l'intervalle de confiance :
$ n = 50 \ge 30 $
$ n \times f = 50 \times 0,3 = 15 \ge 5 $
$ n \times (1 - f) = 50 \times 0,7 = 35 \ge 5 $
Les conditions sont respectées. L'intervalle de confiance au niveau de 95 % est :$ I = \left[ f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} \ ; \ f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} \right] $Application numérique :
$ I = \left[ 0,3 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,3 \times 0,7}{50}} \ ; \ 0,3 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,3 \times 0,7}{50}} \right] $
$ I \approx [0,3 - 0,127 \ ; \ 0,3 + 0,127] $
L'intervalle de confiance arrondi au millième est :$ I = [0,173 \ ; \ 0,427] $
- La variable aléatoire $ Y $ suit la loi normale de moyenne $ \mu' = 205 $ et d'écart type $ \sigma' = 40 $.
- La moyenne $ \mu' = 205 $ signifie que le sommet de la courbe doit se situer à l'abscisse $ x = 205 $. Cela correspond aux graphiques 2 et 3.
- L'écart type $ \sigma' = 40 $ de la zone 2 est supérieur à l'écart type $ \sigma = 30 $ de la zone 1.
Plus l'écart type d'une loi normale est grand, plus la courbe est dispersée et son sommet est bas (la courbe est plus "aplatie").
Parmi les graphiques restants, le graphique 1 présente une courbe plus basse et plus étalée que celle de l'énoncé.
C'est donc le graphique 1 qui représente la densité de probabilité de la variable $ Y $.