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Recherche du bénéfice maximal – Bac ES Pondichéry 2011

Exercice 4

Commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.

Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.

Si $ x $ désigne la quantité journalière produite, on appelle $ C_{T}\left(x\right) $, pour $ x $ variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant.

La courbe $ \Gamma _{1} $ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $ C_{T} $ sur l'intervalle [0,25 ; 5].

La tangente à $ \Gamma _{1} $ au point $ A\left(1 ; 1\right) $ est horizontale.

Recherche du bénéfice maximal - Bac ES Pondichéry 2011

Partie A

    1. On admet que la recette $ R\left(x\right) $ (en milliers d'euros) résultant de la vente de $ x $ centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25 ; 5] par $ R\left(x\right)=1,5 x $.

      Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus ?

    2. Tracer, sur le graphique fourni ci-dessus, le segment représentant graphiquement la fonction $ R $.

  2. Lectures graphiques

    Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique.

    Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.

    1. Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité », c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.
    2. Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés.

    3. Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ?

      A combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu?

Partie B

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total $ C_{T} $ est définie sur l'intervalle [0,25 ; 5] par

$ C_{T}\left(x\right)=x^{2} - 2x \ln \left(x\right) $.

  1. Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par :

    $ B\left(x\right)=1,5x - x^{2}+2x \ln \left(x\right) $.

    Calculer $ B\left(2\right) $, et comparer au résultat obtenu à la question 2.b. de la Partie A.

  2. On suppose que la fonction B est dérivable sur l'intervalle [0,25 ; 5] et on note B' sa fonction dérivée. Montrer que $ B^{\prime}\left(x\right)=2\ln \left(x\right) - 2x+3,5 $.

  3. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $ B^{\prime} $, dérivée de la fonction $ B $, sur l'intervalle [0,25 ; 5] :

    Tableau de variation de B'

    On précise les encadrements : $ 0,22 < y_{1} < 0,23 $ et $ - 3,29 < y_{2} < - 3,28 $.

    1. Démontrer que l'équation $ B^{\prime}\left(x\right)=0 $ admet une solution unique $ \alpha $ dans l'intervalle [0,25 ; 5].

      Pour la suite de l'exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de $ \alpha $.

    2. Dresser le tableau précisant le signe de $ B^{\prime}\left(x\right) $ pour $ x $ appartenant à l'intervalle [0,25 ; 5].

      En déduire le tableau de variations de la fonction $ B $ sur l'intervalle [0,25 ; 5].

    1. Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres).

      Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.

    2. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2.c. de la partie A ?

Corrigé

  1. Partie A

    1. On calcule la recette pour 200 litres de médicament vendus (soit $ x=2 $ car les quantités sont exprimées en centaines de litres) :

      $ R(2) = 1,5 \times 2 = 3 $

      D'après l'énoncé, les recettes sont en milliers d'euros, donc la recette pour 200 litres est de 3 000 euros.

    2. La fonction $ R $ est définie par $ R(x) = 1,5x $. Sa représentation graphique est un segment de droite passant par l'origine $ (0 ; 0) $ et par le point $ (2 ; 3) $. Ce segment doit être tracé sur l'intervalle $[0,25 ; 5]$.

  2. Lectures graphiques

    1. La « plage de rentabilité » correspond aux valeurs de $ x $ pour lesquelles la recette est supérieure au coût total ($ R(x) > C_T(x) $). Graphiquement, cela correspond à l'intervalle où le segment de droite représentant $ R $ est situé au-dessus de la courbe $ \Gamma_1 $.
      Par lecture graphique, on trouve que la plage de rentabilité est environ l'intervalle [0,6 ; 4,5], soit une production comprise entre 60 et 450 litres.
    2. Pour 200 litres ($ x = 2 $), le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total. Graphiquement, il s'agit de l'écart vertical entre le point de la droite $ R $ ($ y = 3 $) et le point de la courbe $ \Gamma_1 $ ($ y \approx 1,2 $).
      $ 3 - 1,2 = 1,8 $. Le bénéfice est donc d'environ 1 800 euros.
    3. Le bénéfice maximal est atteint pour la valeur de $ x $ où l'écart vertical entre la droite et la courbe est le plus grand.
      On lit graphiquement que cela se produit pour $ x \approx 2,75 $, soit environ 275 litres.
      Le bénéfice maximal est alors d'environ 2,15 milliers d'euros, soit 2 150 euros.

  3. Partie B

    1. Le bénéfice est défini par $ B(x) = R(x) - C_T(x) $.

      $ B(x) = 1,5x - (x^2 - 2x \ln(x)) = 1,5x - x^2 + 2x \ln(x) $

      Calcul de $ B(2) $ :
      $ B(2) = 1,5 \times 2 - 2^2 + 2 \times 2 \times \ln(2) = 3 - 4 + 4 \ln(2) = -1 + 4 \ln(2) $.
      Avec $ \ln(2) \approx 0,693 $, on a $ B(2) \approx -1 + 2,772 = 1,772 $.
      Le bénéfice pour 200 litres est donc de 1 772 euros, ce qui est cohérent avec l'estimation graphique de 1 800 €.

    2. La fonction $ B $ est dérivable sur $[0,25 ; 5]$ comme somme de fonctions dérivables.
      $ B'(x) = 1,5 - 2x + 2 \left( 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} \right) $
      $ B'(x) = 1,5 - 2x + 2\ln(x) + 2 $

      $ B'(x) = 2\ln(x) - 2x + 3,5 $
      1. La fonction $ B' $ est continue sur $[1 ; 5]$. Elle est strictement décroissante sur cet intervalle d'après le tableau de variations de $ B' $ fourni dans l'énoncé.
        $ B'(1) = 2 \ln(1) - 2(1) + 3,5 = 1,5 > 0 $.
        $ B'(5) = 2 \ln(5) - 2(5) + 3,5 \approx 3,219 - 10 + 3,5 = -3,281 < 0 $.
        D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ B'(x) = 0 $ admet donc une unique solution $ \alpha $ sur $[1 ; 5]$.
        Sur $[0,25 ; 1]$, la fonction $ B'$ est croissante et son minimum est $ B'(0,25) \approx 0,22 > 0 $, donc elle n'y s'annule pas.
        L'équation $ B'(x) = 0 $ admet donc une solution unique $ \alpha $ sur $[0,25 ; 5]$.

      2. On en déduit le signe de $ B'(x) $ et les variations de $ B $ :

        Tableau de variations de B

      1. Le bénéfice est maximal lorsque sa dérivée s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire pour $ x = \alpha \approx 2,77 $.
        La quantité à produire est donc de $ 2,77 \times 100 = $ 277 litres.
        Le bénéfice maximal est :

        $ B(2,77) \approx 1,5(2,77) - (2,77)^2 + 2(2,77)\ln(2,77) \approx 2,135 $

        Soit environ 2 135 euros.

      2. Ces résultats (277 litres et 2 135 €) confirment les estimations graphiques de la partie A (275 litres et 2 150 €).