Probabilités-Loi binomiale-Bac ES Liban 2008
Exercice 2
5 points - Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Un club de remise en forme propose, outre l'accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l'inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d'abonnement : avec ou sans cours collectif.
Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
40 % des membres sont des hommes.
65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
On choisit une fiche au hasard et on considère les événements suivants :
- H : « la fiche est celle d'un homme »,
- F : « la fiche est celle d'une femme »,
- C : « la fiche est celle d'un membre inscrit à des cours collectifs ».
Rappel de notation : Si A et B sont deux événements donnés, $ p\left(A\right) $ désigne la probabilité de A et $ p_{B}\left(A\right) $ désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B.
- Donner les probabilités suivantes : $ p\left(H\right) $, $ p_{F}\left(\overline{C}\right) $, $ p_{F} \left(C\right) $ et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.
- Déterminer $ p\left(F \cap C\right) $.
- Montrer que $ p\left(H \cap C\right)=0,08 $.
- On tire la fiche d'un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?
- Compléter l'arbre pondéré de la question 1.
- On choisit au hasard une fiche d'un membre non inscrit aux cours collectifs. Quelle est la probabilité que ce soit celle d'un homme ? (donner la valeur décimale arrondie au centième).
- Pour vérifier la bonne tenue de son fichier, la personne chargée de la gestion de ce club prélève une fiche au hasard et la remet après consultation. Elle procède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs ?
Corrigé
- D'après les données de l'énoncé :
$ p(H) = 0,40 $ (car 40 % des membres sont des hommes).
$ p_F(\overline{C}) = 0,05 $ (car parmi les femmes, 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs).
$ p_F(C) = 1 - p_F(\overline{C}) = 1 - 0,05 = 0,95 $. Calcul de $ p(F \cap C) $ :
L'événement $ F $ est le contraire de $ H $, donc $ p(F) = 1 - p(H) = 1 - 0,4 = 0,6 $.$ p(F \cap C) = p(F) \times p_F(C) = 0,6 \times 0,95 = 0,57 $.Montrons que $ p(H \cap C) = 0,08 $ :
D'après la formule des probabilités totales :
$ p(C) = p(H \cap C) + p(F \cap C) $.
On sait que $ p(C) = 0,65 $ (65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs).
Donc $ 0,65 = p(H \cap C) + 0,57 $.$ p(H \cap C) = 0,65 - 0,57 = 0,08 $.On cherche la probabilité qu'un homme soit inscrit aux cours collectifs, soit $ p_H(C) $ :
$ p_H(C) = \dfrac{p(H \cap C)}{p(H)} = \dfrac{0,08}{0,4} = 0,2 $.Arbre pondéré complété :
On en déduit $ p_H(\overline{C}) = 1 - p_H(C) = 1 - 0,2 = 0,8 $.
On choisit une fiche parmi celles des membres non inscrits aux cours collectifs ($ \overline{C} $).
On cherche $ p_{\overline{C}}(H) $.
$ p(\overline{C}) = 1 - p(C) = 1 - 0,65 = 0,35 $.
$ p(H \cap \overline{C}) = p(H) \times p_H(\overline{C}) = 0,4 \times 0,8 = 0,32 $.$ p_{\overline{C}}(H) = \dfrac{p(H \cap \overline{C})}{p(\overline{C})} = \dfrac{0,32}{0,35} \approx 0,91 $.On effectue 3 prélèvements avec remise.
Soit $ X $ la variable aléatoire égale au nombre de fiches de membres non inscrits aux cours collectifs.
Chaque tirage est indépendant et la probabilité de succès (membre non inscrit) est $ p = p(\overline{C}) = 0,35 $.
$ X $ suit donc la loi binomiale $ \mathcal{B}(3 \ ; \ 0,35) $.
On cherche la probabilité d'avoir au moins une fiche de ce type, soit $ p(X \ge 1) $.$ p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) $
$ p(X \ge 1) = 1 - (0,65)^3 $
$ p(X \ge 1) = 1 - 0,274625 = 0,725375 $.La probabilité qu'au moins une des fiches soit celle d'un membre non inscrit aux cours collectifs est d'environ $ 0,725 $.