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Arbre -Loi de probabilité-Bac ES Amérique du Nord 2008

Exercice 2

(5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour faire connaître l'ouverture d'un nouveau magasin vendant des salons, le directeur fait distribuer des bons publicitaires permettant de recevoir un cadeau gratuit sans obligation d'achat.

Une enquête statistique préalable a montré que, parmi les personnes qui entrent dans le magasin :

  • 90% entrent dans le magasin avec ce bon publicitaire. Parmi elles, 10% achètent un salon.
  • Parmi les personnes qui entrent sans bon publicitaire, 80% achètent un salon.

Une personne entre dans le magasin.

On note :

  • $ B $ l'événement « la personne a un bon publicitaire ».
  • $ \overline{B} $ l'événement « la personne n'a pas de bon publicitaire ».
  • $ S $ l'événement « la personne achète un salon ».
  • $ \overline{S} $ l'événement contraire de S.

Partie I

  1. Dessiner un arbre pondéré représentant la situation.

  2. A l'aide de $ B $, $ \overline{B} $, $ S $, $ \overline{S} $ traduire les événements suivants et calculer leur probabilité à $ 10^{ - 2} $ près :

    1. la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire ;
    2. la personne achète un salon ;
    3. la personne est venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon.

Partie II

Le bon publicitaire et le cadeau associé coûtent 15€ au magasin.

Un salon vendu rapporte 500€ au magasin s'il est vendu sans bon publicitaire.

  1. Compléter le tableau qui donne la loi de probabilité du bénéfice réalisé par le magasin selon la situation de la personne entrant.

    Situation de la personne entrant La personne a un bon publicitaire et achète un salon La personne a un bon publicitaire et n'achète pas un salon La personne n'a pas de bon publicitaire et achète un salon La personne n'a pas de bon publicitaire et n'achète pas un salon
    Bénéfice réalisé par le magasin en euros 485 -15 500 0
    Probabilité
  2. Calculer le bénéfice moyen du magasin réalisé par personne entrant.
  3. Le directeur pense changer la valeur du cadeau offert. Soit $ x $ le prix de revient, en euros, du nouveau bon publicitaire. Calculer, dans ce cas, l'espérance E de la loi de probabilité du bénéfice du magasin en fonction de $ x $.

  4. Le directeur souhaite réaliser 76e de bénéfice moyen par personne entrant.

    Quel doit être le prix de revient $ x $ du nouveau bon publicitaire ?

Corrigé

Partie I

  1. Arbre pondéré représentant la situation :

    Arbre de probabilité

  2. Calcul des probabilités :

    1. On cherche la probabilité que la personne n'achète pas de salon sachant qu'elle est venue avec un bon publicitaire. Il s'agit de la probabilité conditionnelle $ p_B(\overline{S}) $.

      D'après l'énoncé, parmi les personnes ayant un bon, 10% achètent un salon ($ p_B(S) = 0,1 $).
      Donc :

      $ p_B(\overline{S}) = 1 - p_B(S) = 1 - 0,1 = 0,9 $

    2. L'événement « la personne achète un salon » est noté $ S $.
      D'après la formule des probabilités totales :

      $ p(S) = p(B \cap S) + p(\overline{B} \cap S) $
      $ p(S) = p(B) \times p_B(S) + p(\overline{B}) \times p_{\overline{B}}(S) $
      $ p(S) = 0,9 \times 0,1 + 0,1 \times 0,8 $
      $ p(S) = 0,09 + 0,08 = 0,17 $

    3. On cherche la probabilité que la personne soit venue avec un bon publicitaire sachant qu'elle a acheté un salon. Il s'agit de $ p_S(B) $.

      $ p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,09}{0,17} \approx 0,53 $

Partie II

  1. Loi de probabilité du bénéfice

    Identifions les bénéfices pour chaque situation :

    • $B \cap S$ : La personne a un bon et achète un salon. Le bénéfice est de $ 500 - 15 = 485 \, € $.
    • $B \cap \overline{S}$ : La personne a un bon et n'achète rien. Le magasin perd le coût du bon : $ -15 \, € $.
    • $\overline{B} \cap S$ : La personne n'a pas de bon et achète un salon. Le bénéfice est de $ 500 \, € $.
    • $\overline{B} \cap \overline{S}$ : La personne n'a pas de bon et n'achète rien. Le bénéfice est de $ 0 \, € $.

    Calculons les probabilités correspondantes :

    • $ p(B \cap S) = 0,09 $
    • $ p(B \cap \overline{S}) = p(B) \times p_B(\overline{S}) = 0,9 \times 0,9 = 0,81 $
    • $ p(\overline{B} \cap S) = 0,08 $
    • $ p(\overline{B} \cap \overline{S}) = p(\overline{B}) \times p_{\overline{B}}(\overline{S}) = 0,1 \times 0,2 = 0,02 $

    Tableau de la loi de probabilité (X est le bénéfice) :

    Situation $ B \cap S $ $ B \cap \overline{S} $ $ \overline{B} \cap S $ $ \overline{B} \cap \overline{S} $
    Bénéfice $ x_i $ 485 -15 500 0
    $ P(X = x_i) $ 0,09 0,81 0,08 0,02

  2. Calcul du bénéfice moyen (Espérance)

    $ E(X) = \sum p_i x_i $
    $ E(X) = 0,09 \times 485 + 0,81 \times (-15) + 0,08 \times 500 + 0,02 \times 0 $
    $ E(X) = 43,65 - 12,15 + 40 = 71,5 \, € $

    Le bénéfice moyen par personne entrant est de 71,50 €.

  3. Espérance en fonction de $ x $
    Si le nouveau bon coûte $ x \, € $, les bénéfices deviennent :

    • $ B \cap S $ : $ 500 - x $
    • $ B \cap \overline{S} $ : $ -x $
    • $ \overline{B} \cap S $ : $ 500 $
    • $ \overline{B} \cap \overline{S} $ : $ 0 $

    L'espérance est alors :

    $ E = 0,09 \times (500 - x) + 0,81 \times (-x) + 0,08 \times 500 + 0,02 \times 0 $
    $ E = 45 - 0,09x - 0,81x + 40 $
    $ E = 85 - 0,9x $

  4. Condition pour un bénéfice moyen de 76 €
    On résout l'équation :

    $ 85 - 0,9x = 76 $
    $ -0,9x = 76 - 85 $
    $ -0,9x = -9 $
    $ x = \dfrac{-9}{-0,9} = 10 $

    Le prix de revient du nouveau bon publicitaire doit être de 10 €.