Produit scalaire dans l’espace – Bac S – Amérique du Nord 2008

Exercice 2

5 points – Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère deux points $A$ et $D$ de l’espace et on désigne par $I$ le milieu du segment $\left[AD\right]$.

1. Démontrer que, pour tout point $M$ de l’espace, $\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=MI^{2} – IA^{2}$

2. En déduire l’ensemble $\left(E\right)$ des points $M$ de l’espace tels que $\overrightarrow{MD} . \overrightarrow{MA}=0$

Partie B

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal $\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$, les points $A, B, C$ et $D$ ont pour coordonnées respectives $A\left(3 ; 0 ; 0\right)$, $B\left(0 ; 6 ; 0\right)$, $C\left(0 ; 0 ; 4\right)$ et $D\left( – 5 ; 0 ; 1\right)$.

1. 1. Vérifier que le vecteur $$\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ est normal au plan $\left(ABC\right)$.

   2. Déterminer une équation du plan $\left(ABC\right)$.

2. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, orthogonale au plan $\left(ABC\right)$ passant par $D$.

   2. En déduire \les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur \le plan $\left(ABC\right)$.

   3. Calculer la distance du point $D$ au plan $\left(ABC\right)$.

   4. Démontrer que \le point $H$ appartient à l’ensemble $\left(E\right)$ défini dans la partie A.