Section plane d'un cube (2)

$ ABCDEFGH $ est un cube. $ J $ est un point de la face $ ABFE $, K un point de la face $ EFGH $ et $ L $ un point de la face $ BCGF $

Pour chaque question, on justifiera la construction.

Construire l'intersection des plans $ \left(BJL\right) $ et $ \left(EFGH\right) $. En déduire l'intersection de la droite $ \left(JL\right) $ avec le plan $ \left(EFGH\right) $.
Construire la trace du plan $ \left(JKL\right) $ sur la face $ \left(EFGH\right) $.
Tracer la section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ \left(JKL\right) $

Corrigé

Les points P et P' n'ont pu être tracés sur la figure ci-dessus car P est très éloigné du cube.

On cherche deux points communs aux plans $ (BJL) $ et $ (EFGH) $. L'un est le point $ M $, intersection des droites $ (BL) $ et $ (FG) $. L'autre est le point $ N $, intersection des droites $ (BJ) $ et $ (EF) $. La droite $ (MN) $ est l'intersection des plans $ (BJL) $ et $ (EFGH) $.
On en déduit que l'intersection de la droite $ (JL) $ avec le plan $ (EFGH) $ est le point $ P $, intersection des droites $ (JL) $ et $ (MN) $.
Le point $ K $ appartient à la fois aux plans $ (JKL) $ et $ (EFGH) $. Il en va de même du point $ P $. La droite $ (PK) $ est donc l'intersection des plans $ (JKL) $ et $ (EFGH) $. Soient $ V $ et $ W $ les points d'intersections de la droite $ (PK) $ avec respectivement les arêtes $ [GH] $ et $ [HE] $ du cube. $ [VW] $ représente la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ EFGH $.
La droite $ (P'J) $, où $ P' $ est la projection de $ P $ sur la face $ ABFE $, est l'intersection des plans $ (JKL) $ et $ (ABFE) $. Le segment $ [ST] $ sur la droite $ (P'J) $ (avec $ S $ sur $ [BF] $ et $ T $ sur $ [AE] $) est la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ ABFE $.

On obtient la trace du plan $ (JKL) $ sur la face $ BCGF $ en reliant $ S $ à $ U $ sur l'arête $ [CG] $.

La section du cube $ ABCDEFGH $ par le plan $ (JKL) $ est alors le pentagone $ STUVW $.

(Solution rédigée par Paki)