$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ et $J$ sont les deux points définis par :
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$\overrightarrow{HI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE}$
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$\overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG}$
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On se place dans le repère $\left(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}\right)$.
Préciser les coordonnées des points $A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ dans ce repère.
Aucune justification n’est demandée pour les coordonnées des sommets du cube. -
Donner une représentation paramétrique de la droite $\left(AI\right)$ et de la droite $\left(CJ\right)$
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Montrer que les droites $\left(AI\right)$ et $\left(CJ\right)$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Corrigé
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$A\left(1 ; 0 ; 0\right)$
$B\left(1 ; 1 ; 0\right)$
$C\left(0 ; 1 ; 0\right)$
$D\left(0 ; 0 ; 0\right)$
$E\left(1 ; 0 ; 1\right)$
$F\left(1 ; 1 ; 1\right)$
$G\left(0 ; 1 ; 1\right)$
$H\left(0 ; 0 ; 1\right)$
$\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{DH}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HE}$
Les coordonnées de $\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{HE}$ sont $\overrightarrow{DH} \left(0 ; 0 ; 1\right)$ et $\overrightarrow{HE} \left(1 ; 0 ; 0\right)$
Les coordonnées de $\overrightarrow{DI}$ et du point $I$ sont donc $I \left(\dfrac{1}{3} ; 0 ; 1\right)$
Avec un calcul similaire on trouve $J \left(0 ; \dfrac{1}{3} ; 1\right)$
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La droite $\left(AI\right)$ passe par le point $A\left(1 ; 0 ; 0\right)$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AI}\left( – \dfrac{2}{3} ; 0 ; 1\right)$. Pour éviter l’emploi de fraction, on peut dire que le vecteur $3\overrightarrow{AI}\left( – 2 ; 0 ; 3\right)$ est également un vecteur directeur de $\left(AI\right)$.
Une représentation paramétrique de la droite $\left(AI\right)$ est donc :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$
Remarque : Cette représentation n’est pas unique. Le système :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – \dfrac{2}{3}t \\ y=0 \\ z=t \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$
par exemple, est lui aussi correct.
Avec un raisonnement identique on montre que \le système :
$$\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 – 2t \\ z=3t \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$
est une représentation paramétrique de la droite $\left(CJ\right)$
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Les droites $\left(AI\right)$ et $\left(CJ\right)$ sont sécantes en un point $M\left(x ; y ; z\right)$ s’il existe deux réels $t$ et $t^{\prime}$ tels que simultanément :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – 2t \\ y=0 \\ z=3t \end{matrix}\right. \qquad$$ et $$\qquad \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=1 – 2t^{\prime} \\ z=3t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
Remarque : Attention à remplacer $t$ par $t^{\prime}$ dans \le second système car \les paramètres \ne sont pas nécessairement égaux dans \les deux représentations paramétriques.
Cela entraine :
$$\left\{ \begin{matrix} 1 – 2t=0 \\ 0=1 – 2t^{\prime} \\ 3t=3t^{\prime} \end{matrix}\right.$$
Ce système admet une solution : $t=\dfrac{1}{2}$, $t^{\prime}=\dfrac{1}{2}$ et on obtient alors :
$$\left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=0 \\ z=\dfrac{3}{2} \end{matrix}\right.$$
Les droites $\left(AI\right)$ et $\left(CJ\right)$ sont donc sécantes en un point $M\left(0 ; 0 ; \dfrac{3}{2}\right)$