L’epace est rapporté à un repère $\left(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)$.
Soient les points $A\left(1 ; 0 ; 1\right)$, $B\left( – 1 ; 2 ; 0\right)$ et $C\left(0 ; 0 ; – 2\right)$.
-
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\left(AB\right)$
-
Déterminer une représentation paramétrique de la parallèle à $\left(AB\right)$ passant par $C$
-
Déterminer une représentation paramétrique du plan $\left(ABC\right)$
Corrigé
-
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\left( – 1 – 1 ; 2 – 0 ; 0 – 1\right)=\left( – 2 ; 2 ; – 1\right)$
La droite $\left(AB\right)$ passe par $A$ et admet $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur.
Une représentation paramétrique de la droite $\left(AB\right)$ est donc :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – 2t \\ y=2t \\ z=1 – t \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$
Remarque : La représentation paramétrique n’est pas unique; d’autres réponses exactes sont donc possibles.
-
La droite cherchée passe par $C$ et admet $\overrightarrow{AB}$ comme \vecteur directeur puisqu’elle est parallè\le à la droite $\left(AB\right)$..
Une représentation paramétrique de cette droite est donc :
$$\left\{ \begin{matrix} x= – 2t \\ y= 2t \\ z= – 2 – t \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$
-
Les coordonnées du \vecteur $\overrightarrow{AC}$ sont $\left(0 – 1 ; 0 – 0 ; – 2 – 1\right)=\left( – 1 ; 0 ; – 3\right)$
Le plan $\left(ABC\right)$ passe par $A$ et \les \vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux \vecteurs non colinéaires (car \les coordonnées de ces deux \vecteurs \ne sont pas proportionnelles) de ce plan.
Une représentation paramétrique du plan $\left(ABC\right)$ est donc :
$$\left\{ \begin{matrix} x=1 – 2t – t^{\prime} \\ y=2t \\ z=1 – t – 3t^{\prime} \end{matrix}\right.$$ avec $t \in \mathbb{R}$ et $t^{\prime} \in \mathbb{R}$