Suites – Bac S Polynésie 2014
Exercice 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par
$ u_{0}=0 $
et, pour tout entier naturel $ n $,
$ u_{n+1}=u_{n}+2n +2 $.
Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $.
Algorithme 1 :Variables : $ n $ est un entier naturel $ u $ est un réel Entrée : Saisir la valeur de $ n $ Traitement : $ u $ prend la valeur 0 Pour $ i $ allant de $ 1 $ à $ n $: $ \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ u+2i+2 $ Fin Pour Sortie : Afficher $ u $ Algorithme 2 :
Variables : $ n $ est un entier naturel $ u $ est un réel Entrée : Saisir la valeur de $ n $ Traitement : $ u $ prend la valeur $ 0 $ Pour $ i $ allant de $ 0 $ à $ n - 1 $: $ \quad \quad \quad u $ prend la valeur $ u+2i+2 $ Fin Pour Sortie : Afficher $ u $ De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $ u_{n} $, la valeur de l'entier naturel $ n $ étant entrée par l'utilisateur ?
À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $ n $ figure en abscisse et $ u_{n} $ en ordonnée.
$ n $ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $ u_{n} $ 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 
- Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $ ?
Démontrer cette conjecture. - La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $ a, b $ et $ c $ tels que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n}=an^{2}+bn+c $
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $ a, b $ et $ c $ à l'aide des informations fournies
- Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $ ?
On définit, pour tout entier naturel $ n $, la suite $ \left(v_{n}\right) $ par $ v_{n}=u_{n+1} - u_{n} $.
- Exprimer $ v_{n} $ en fonction de l'entier naturel $ n $. Quelle est la nature de la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?
- On définit, pour tout entier naturel $ n, S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n} $.
Démontrer que, pour tout entier naturel $ n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right) $. - Démontrer que, pour tout entier naturel $ n, S_{n}=u_{n+1} - u_{0} $, puis exprimer $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
Corrigé
- On a pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1} = u_{n} + 2n + 2 $.
- Pour $ n = 0 $ : $ u_1 = u_0 + 2(0) + 2 = 0 + 2 = 2 $.
- Pour $ n = 1 $ : $ u_2 = u_1 + 2(1) + 2 = 2 + 2 + 2 = 6 $.
- L'algorithme qui permet d'afficher en sortie la valeur de $ u_{n} $ est l'algorithme 2.
En effet, l'algorithme 1 effectue la boucle `Pour i allant de 1 à n`, calculant ainsi $ u_1, u_2, \dots, u_{n+1} $ (la valeur finale affichée serait $ u_{n+1} $).
L'algorithme 2 effectue la boucle `Pour i allant de 0 à n-1`, calculant ainsi $ u_1, u_2, \dots, u_n $. - D'après le tableau et le nuage de points, on peut conjecturer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante.
Démonstration :
Pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n+1} - u_{n} = 2n + 2 $.
Comme $ n \geqslant 0 $, on a $ 2n + 2 > 0 $, donc $ u_{n+1} - u_{n} > 0 $.
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est bien strictement croissante. - Si $ u_{n} = an^{2} + bn + c $ pour tout $ n $, alors :
- Pour $ n = 0 $ : $ u_0 = c = 0 $.
- Pour $ n = 1 $ : $ u_1 = a + b + c = a + b = 2 $.
Pour $ n = 2 $ : $ u_2 = 4a + 2b + c = 4a + 2b = 6 $.
On a donc le système :
$ \begin{cases} a + b = 2 \\ 2a + b = 3 \text{ (après division par 2)} \end{cases} $Par soustraction des deux lignes, on obtient $ a = 1 $, puis $ b = 1 $.
On conjecture donc que $ u_n = n^2 + n = n(n+1) $.
- D'après le tableau et le nuage de points, on peut conjecturer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement croissante.
- Pour tout entier naturel $ n $, $ v_n = u_{n+1} - u_n = 2n + 2 $.
$ v_n $ est de la forme $ an+b $, c'est donc le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $ v_0 = 2 $ et de raison $ r = 2 $. $ S_{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} v_{k} $ est la somme des $ n+1 $ premiers termes d'une suite arithmétique.
$ S_n = (n+1) \dfrac{v_0 + v_n}{2} = (n+1) \dfrac{2 + 2n + 2}{2} = (n+1) \dfrac{2n + 4}{2} = (n+1)(n+2) $$ S_{n} = (u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + \dots + (u_{n+1} - u_n) = u_{n+1} - u_0 $ par télescopage.
Comme $ u_0 = 0 $, on a $ S_n = u_{n+1} = (n+1)(n+2) $.
On en déduit que pour tout entier naturel $ n \geqslant 1 $, $ u_n = S_{n-1} = n(n+1) $.
Cette formule reste vraie pour $ n = 0 $ puisque $ 0(0+1) = 0 = u_0 $.
Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n = n^2 + n $.
- Pour tout entier naturel $ n $, $ v_n = u_{n+1} - u_n = 2n + 2 $.
(Solution rédigée par Paki)