Suites – Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivis l’enseignement de spécialité
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$

1. 1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.

   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n}$

2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$.

   1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

   2. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge

3. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1 – u_{n}}$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3.

   2. Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$.

   3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}$.

   4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$