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Suites – Bac S Polynésie 2013

Exercice 4 (5 points)

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=\dfrac{1}{2} $ et telle que pour tout entier naturel $ n $,

$ u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}} $

    1. Calculer $ u_{1} $ et $ u_{2} $.
    2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $ n $, $ 0 < u_{n} $

  2. On admet que pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} < 1 $.

    1. Démontrer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est croissante.
    2. Démontrer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge

  3. Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite définie, pour tout entier naturel $ n $, par $ v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1 - u_{n}} $.

    1. Montrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison 3.
    2. Exprimer pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1} $.
    4. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $

Corrigé

    1. Calcul des premiers termes :

      $ u_{1} = \dfrac{3 \times u_{0}}{1 + 2u_{0}} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{2} = \dfrac{3}{4} $

      et

      $ u_{2} = \dfrac{3 \times u_{1}}{1 + 2u_{1}} = \dfrac{\dfrac{9}{4}}{1 + \dfrac{3}{2}} = \dfrac{\dfrac{9}{4}}{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{9}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{10} $

    2. Soit $ P_n $ la proposition : « $ u_n > 0 $ ».

      • Initialisation : $ u_0 = 0,5 > 0 $ donc la proposition est vraie au rang 0.
      • Hérédité : Supposons que pour un entier $ n $, $ u_n > 0 $.
        Alors $ 3u_n > 0 $ et $ 1 + 2u_n > 1 > 0 $.
        Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc $ u_{n+1} > 0 $.
        La proposition est donc héréditaire.
      • Conclusion : Par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n > 0 $.

  2. On admet que pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} < 1 $.

    1. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $ :

      $ u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}} - u_{n} = \dfrac{3u_{n} - u_{n} - 2u_{n}^2}{1+2u_{n}} = \dfrac{2u_{n} - 2u_{n}^2}{1+2u_{n}} = \dfrac{2u_{n}(1-u_{n})}{1+2u_{n}} $

      D'après les questions précédentes, $ u_n > 0 $ et $ 1 - u_n > 0 $ (car $ u_n < 1 $).
      Comme $ 1 + 2u_n > 0 $, on en déduit que $ u_{n+1} - u_n > 0 $.
      La suite $ (u_n) $ est donc croissante.

    2. La suite $ (u_n) $ est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers une limite $\ell \le 1$.
      Comme $ u_2 = \dfrac{9}{10} $, on peut préciser que $\dfrac{9}{10} \le \ell \le 1$.

  3. Soit $ \left(v_{n}\right) $ la suite définie par $ v_{n}=\dfrac{u_{n}}{1 - u_{n}} $.

    1. $ v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} = \dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{1 - \dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}} = \dfrac{\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{\dfrac{1+2u_{n}-3u_{n}}{1+2u_{n}}} = \dfrac{3u_{n}}{1-u_{n}} = 3v_{n} $.
      La suite $ (v_n) $ est donc géométrique de raison 3.
    2. $ v_0 = \dfrac{u_0}{1-u_0} = \dfrac{0,5}{0,5} = 1 $.
      D'où pour tout $ n $, $ v_n = v_0 \times 3^n = 3^n $.
    3. $ v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \iff v_n - u_n v_n = u_n \iff v_n = u_n(1 + v_n) \iff u_n = \dfrac{v_n}{1 + v_n} $.
      En remplaçant $ v_n $, on obtient $ u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1} $.

    4. $ u_n = \dfrac{3^n}{3^n + 1} = \dfrac{3^n + 1 - 1}{3^n + 1} = 1 - \dfrac{1}{3^n + 1} $.
      $ \lim\limits_{n \to +\infty} 3^n = +\infty $, donc $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{3^n + 1} = 0 $.

      On en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1$.

(Solution rédigée par Paki)