Exercice 4 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Un volume constant de 2 200 $\text{m}^{3}$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
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au départ, le bassin A contient 800$\text{m}^{3}$d’eau et le bassin B contient 1 400 $\text{m}^{3}$ d’eau ;
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tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
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tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B
Pour tout entier naturel $n$, on note :
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$a_{n}$ le volume d’eau, exprimé en $\text{m}^{3}$, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jour de fonctionnement;
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$b_{n}$ le volume d’eau, exprimé en $\text{m}^{3}$ , contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jour de fonctionnement.
On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1 400$.
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Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
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Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} =\dfrac{3}{4}a_{n} + 330$.
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L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle
$a_{n}$ est supérieur ou égal à 1 100.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
Variables $n$ est un entier naturel $a$ est un réel Initialisation Affecter à $n$ la valeur $0$ Affecter à $a$ la valeur $800$ Traitement Tant que $a < 1 100$, faire : $\quad$Affecter à $a$ la valeur . . . $\quad$Affecter à $n$ la valeur $n + 1$ Fin Tant que Sortie Afficher $n$ -
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} – 1 320$.
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Montrer que la suite $\left(u_{n} \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
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Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n} = 1 320 – 520\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}$.
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On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
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