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edit_note Exercices 40 min
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Suites – Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 4  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par son premier terme $ u_{1}=\dfrac{3}{2} $ et la relation de récurrence : $ u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2\left(n+1\right)} $.

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $ u_{9} $ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables n est un entier naturel
  u est un réel
Initialisation Affecter à n la valeur 1
  Affecter à u la valeur 1,5
Traitement Tant que n < 9
  $ \quad $ Affecter à u la valeur ...
  $ \quad $ Affecter à n la valeur ...
  Fin Tant que
Sortie Afficher la variable u
  1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.
  2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $ u_{2} $ jusqu'à $ u_{9} $ ?

  3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:

    $ n $ 1 2 3 4 5 6 ... 99 100
    $ u_{n} $ 1,5 0,625 0,375 0,2656 0,2063 0,1693 ... 0,0102 0,0101

    Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

Partie B - Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire $ \left(v_{n}\right) $ par : pour tout entier $ n\geqslant 1 $, $ v _{n}=nu_{n} - 1 $.

  1. Montrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
  2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n\geqslant 1 $, on a : $ u_{n}=\dfrac{1+\left(0,5\right)^{n}}{n} $.
  3. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
  4. Justifier que, pour tout entier $ n\geqslant 1 $ , on a : $ u_{n+1} - u_{n}= - \dfrac{1+\left(1+0,5n\right)\left(0,5\right)^{n}}{n\left(n+1\right)} $.

    En déduire le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

Partie C - Retour à l'algorithmique

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $ n $ tel que $ u_{n} < 0,001 $.

Corrigé

Partie A - Algorithmique et conjectures

  1. Les deux lignes complétées :

    Variables n est un entier naturel
      u est un réel
    Initialisation Affecter à n la valeur 1
      Affecter à u la valeur 1,5
    Traitement Tant que n < 9
      $ \quad $ Affecter à u la valeur (nu + 1) / (2(n + 1))
      $ \quad $ Affecter à n la valeur n + 1
      Fin Tant que
    Sortie Afficher la variable u

  2. Pour afficher tous les termes de $ u_2 $ jusqu'à $ u_9 $, il faudrait ajouter une instruction d'affichage à l'intérieur de la boucle :

    Variables n est un entier naturel
      u est un réel
    Initialisation Affecter à n la valeur 1
      Affecter à u la valeur 1,5
    Traitement Tant que n < 9
      $ \quad $ Affecter à u la valeur (nu + 1) / (2(n + 1))
      $ \quad $ Afficher la variable u
      $ \quad $ Affecter à n la valeur n + 1
      Fin Tant que
    Sortie  
  3. Au vu de ces résultats, on conjecture que la suite $ (u_n) $ est décroissante et tend vers une limite $ l $ telle que $ 0 \leqslant l < 0,0101 $.

Partie B - Étude mathématique

  1. Calculons le rapport $ \dfrac{v_{n+1}}{v_n} $. Pour tout $ n \geqslant 1 $ :

    $ v_{n+1} = (n+1)u_{n+1} - 1 = (n+1) \dfrac{nu_n+1}{2(n+1)} - 1 = \dfrac{nu_n+1}{2} - 1 = \dfrac{nu_n-1}{2} $

    D'où :

    $ \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{\dfrac{nu_n-1}{2}}{nu_n-1} = \dfrac{1}{2} $

    Le premier terme est $ v_1 = 1 \times u_1 - 1 = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} $.
    La suite $ (v_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ \dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ v_1 = \dfrac{1}{2} $.

  2. D'après ce qui précède, pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

    $ v_n = v_1 \times q^{n-1} = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0,5^n $

    Or $ v_n = nu_n - 1 $, donc $ nu_n = 1 + v_n = 1 + 0,5^n $.
    On en déduit que : $ u_n = \dfrac{1 + 0,5^n}{n} $.

  3. On sait que $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0 $ car $ |0,5| < 1 $.
    Le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers $ +\infty $.
    D'où $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0 $.

  4. Pour tout entier $ n \geqslant 1 $ :

    $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{1 + 0,5^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1 + 0,5^n}{n} = \dfrac{n(1 + 0,5 \times 0,5^n) - (n+1)(1 + 0,5^n)}{n(n+1)} $
    $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{n + 0,5n(0,5^n) - (n + 1 + n \times 0,5^n + 0,5^n)}{n(n+1)} $
    $ u_{n+1} - u_n = \dfrac{-1 - 0,5n(0,5^n) - 0,5^n}{n(n+1)} = - \dfrac{1 + (1 + 0,5n)0,5^n}{n(n+1)} $

    Puisque $ n \geqslant 1 $, on a $ 1 + (1 + 0,5n)0,5^n > 0 $ et $ n(n+1) > 0 $.
    Donc $ u_{n+1} - u_n < 0 $, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Partie C - Retour à l'algorithmique

L'algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $ n $ tel que $ u_n < 0,001 $ est :

Variables n est un entier naturel
  u est un réel
Initialisation Affecter à n la valeur 1
  Affecter à u la valeur 1,5
Traitement Tant que u \geqslant 0,001
  $ \quad $ Affecter à u la valeur (nu + 1) / (2(n + 1))
  $ \quad $ Affecter à n la valeur n + 1
  Fin Tant que
Sortie Afficher la variable n

(Solution rédigée par Paki)