Suites et récurrence – Bac S Métropole 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par :

   $ u_{0}=1 $ et, pour tout nombre entier naturel $ n $, $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u _{n}+4 $.

   On pose, pour tout nombre entier naturel $ n $, $ v_{n}=u_{n} - 6 $.

   1. Pour tout nombre entier naturel $ n $, calculer $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $. Quelle est la nature de la suite $ \left(v_{n}\right) $ ?
   2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel $ n $, $ u_{n}= - 5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}+6 $.
   3. Étudier la convergence de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

2. On considère la suite $ \left(w_{n}\right) $ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $ n \geqslant 1 $ :

   $ nw_{n} =\left(n+1\right)w_{n - 1} +1 $ et $ w_{0}=1 $.

   Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

   $ w_{0} $	$ w_{1} $	$ w_{2} $	$ w_{3} $	$ w_{4} $	$ w_{5} $	$ w_{6} $	$ w_{7} $	$ w_{8} $	$ w_{9} $
   1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

   1. Détailler le calcul permettant d'obtenir $ w_{10} $.
   2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      
      Donner la nature de la suite $ \left(w_{n}\right) $. Calculer $ w_{2009} $.