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Suites – Bac S Asie 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=2 $ et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}. $

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a :

    $ u_{n} > 1 $

    1. Établir que, pour tout entier naturel $ n $, on a :

      $ u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}} $

      .

    2. Déterminer le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

      En déduire que la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge.

Partie B

On considère la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par : $ u_{0}=2 $ et, pour tout entier naturel $ n $ :

$ u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}. $

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Entrée Soit un entier naturel non nul $ n $
    Initialisation Affecter à $ u $ la valeur 2
    Traitement et sortie POUR $ i $ allant de 1 à $ n $
      $ \quad $Affecter à $ u $ la valeur $ \dfrac{1+0,5u}{0,5+u} $
      $ \quad $Afficher $ u $
      FIN POUR

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $ n=3 $. Les valeurs de $ u $ seront arrondies au millième.

    $ i $ 1 2 3
    $ u $

  2. Pour $ n=12 $, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

    $ i $ 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    $ u $ 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001

    Conjecturer le comportement de la suite $ \left(u_{n}\right) $ à l'infini.

  3. On considère la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie, pour tout entier naturel $ n $, par : $ v_{n}=\dfrac{u_{n} - 1}{u_{n}+1} $.

    1. Démontrer que la suite $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique de raison $ - \dfrac{1}{3} $.
    2. Calculer $ v_{0} $ puis écrire $ v_{n} $ en fonction de $ n $.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ v_{n} \neq 1 $.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 - v_{n}} $.
    3. Déterminer la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $.

Corrigé

Partie A

  1. Soit $ P_{n} $ la propriété «$ u_{n} > 1 $»

    Initialisation : $ u_{0}=2 > 1 $ donc $ P_{0} $ est vraie.

    Hérédité Supposons que $ P_{n} $ soit vraie pour un entier $ n $ fixé. Alors :

    $ u_{n+1} - 1=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - 1=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - \dfrac{3+u_{n}}{3+u_{n}}=\dfrac{ - 2+2u_{n}}{3+u_{n}}=\dfrac{2\left(u_{n} - 1\right)}{3+u_{n}} $

    Comme $ u_{n} > 1 $ par hypothèse de récurrence, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs donc $ u_{n+1} - 1 > 0 $ donc $ u_{n+1} > 1 $ ce qui prouve l'hérédité.

    Par conséquent, $ u_{n} > 1 $ pour tout entier naturel $ n $.
    1. $ u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - u_{n}=\dfrac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - \dfrac{u_{n}\left(3+u_{n}\right)}{3+u_{n}}=\dfrac{1 - u_{n}^{2}}{3+u_{n}} $

      $ u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}} $
    2. D'après la question 1. $ u_{n} > 1 $ pour tout entier naturel $ n $. Par conséquent :

      ♦  $ 1 - u_{n} < 0 $

      ♦  $ 1+u_{n} > 0 $

      ♦  $ 3+u_{n} > 0 $

      $ u_{n+1} - u_{n} $ est donc strictement négatif pour tout entier $ n $. Par conséquent, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est strictement décroissante.

      La suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante et minorée par $ 1 $ donc convergente (voir cours)

Partie B

  1. A la calculatrice (en utilisant le menu Suites) on trouve :

    $ i $ 1 2 3
    $ u $ 0,8 1,077 0,976
  2. La suite $ \left(u_{n}\right) $ semble converger vers $ 1 $.
    1. $ v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1}+1} = \dfrac{\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}} - 1}{\dfrac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\dfrac{\dfrac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{0,5+u_{n}}}{\dfrac{1,5u_{n}+1,5}{0,5+u_{n}}}=\dfrac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{0,5+u_{n}}\times \dfrac{0,5+u_{n}}{1,5u_{n}+1,5} $

      $ v_{n+1} =\dfrac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{1,5u_{n}+1,5}= - \dfrac{0,5}{1,5}\times \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n}+1}= - \dfrac{1}{3}v_{n} $

      Donc, la suite $ \left(v_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ - \dfrac{1}{3} $
    2. $ v_{0}=\dfrac{u_{0} - 1}{u_{0}+1}=\dfrac{1}{3} $

      Par conséquent :

      $ v_{n}=v_{0}\times \left( - \dfrac{1}{3}\right)^{n}=\dfrac{1}{3}\times \left( - \dfrac{1}{3}\right)^{n} $

      (Remarque : le résultat peut aussi s'écrire $ - \left( - \dfrac{1}{3}\right)^{n+1} $)
    1. Pour tout entier $ n $, $ \left( - \dfrac{1}{3}\right)^{n} \leqslant 1 $ donc $ v_{n} \leqslant \dfrac{1}{3} $ et par conséquent $ v_{n}\neq 1 $
    2. $ v_{n}=\dfrac{u_{n} - 1}{u_{n}+1} $ équivaut à :

      $ v_{n}\left(u_{n}+1\right)=u_{n} - 1 $

      $ v_{n}u_{n}+v_{n}=u_{n} - 1 $

      $ v_{n}u_{n} - u_{n}= - v_{n} - 1 $

      $ - v_{n}u_{n}+u_{n}=v_{n}+1 $

      $ u_{n}\left(1 - v_{n}\right)=v_{n}+1 $

      $ u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 - v_{n}} $ car pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ v_{n}\neq 1 $
    3. $ v_{n} $ est une suite géométrique dont la raison est strictement inférieure à $ 1 $ en valeur absolue.

      La suite $ \left(v_{n}\right) $ converge donc vers $ 0 $ (voir limite d'une suite géométrique).

      D'après la formule $ u_{n}=\dfrac{1+v_{n}}{1 - v_{n}} $ et les règles de calcul sur les limites, la suite $ \left(u_{n}\right) $ converge donc vers $ 1 $.