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Suite et récurrence – Exercice de synthèse
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie par $ u_{0}=2 $ et $ u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} $
- Montrer que pour tout entier $ n\in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}=2 - \dfrac{5}{u_{n}+4} $
- Montrer par récurrence que pour tout entier $ n\in \mathbb{N} $, $ 1\leqslant u_{n} \leqslant 2 $
- Quel est le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $?
- Montrer que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est convergente.
- Soit $ l $ la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $. Déterminer une équation dont $ l $ est solution et en déduire la valeur de $ l $.
Corrigé
- Méthode : On part de $ 2 - \dfrac{5}{u_{n}+4} $ et on réduit au même dénominateur
$ 2 - \dfrac{5}{u_{n}+4} = \dfrac{2\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} - \dfrac{5}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+8 - 5}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} = u_{n+1} $ - Initialisation : $ u_{0}=2 $ donc $ 1\leqslant u_{0} \leqslant 2 $
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : On suppose que pour un certain entier $ n $ : $ 1\leqslant u_{n} \leqslant 2 $ (Hypothèse de récurrence) et on va montrer que $ 1\leqslant u_{n+1} \leqslant 2 $
$ 1\leqslant u_{n} \leqslant 2 $ donc :
$ 5\leqslant u_{n}+4 \leqslant 6 $
On inverse chaque membre :
$ \dfrac{1}{6}\leqslant \dfrac{1}{u_{n}+4} \leqslant \dfrac{1}{5} $ car la fonction inverse est strictement décroissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $
On multiplie chaque membre par $ - 5 $ (on change une nouvelle fois le sens car $ - 5 $ est négatif)
$ - \dfrac{5}{5}\leqslant - \dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant - \dfrac{5}{6} $
Enfin on ajoute $ 2 $ à chaque membre :
$ 2 - 1\leqslant 2 - \dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant 2 - \dfrac{5}{6} $
$ 1\leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{7}{6} $
Or $ \dfrac{7}{6} < 2 $ donc on a bien :
$ 1\leqslant u_{n+1} \leqslant 2 $ ce qui montre la propriété par récurrence.
Conclusion : Pour tout entier $ n\in \mathbb{N} $, $ 1\leqslant u_{n} \leqslant 2 $ - $ u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - \dfrac{u_{n}\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+3 - u_{n}^{2} - 4u_{n}}{u_{n}+4} $
$ u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4} $
On étudie le signe de $ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 $ qui est un polynôme du second degré en $ u_{n} $
$ \Delta =\left( - 2\right)^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times 3=16 $
Le polynôme possède donc 2 racines :
$ x_{1}=\dfrac{2 - 4}{ - 2}=1 $ et $ x_{2}=\dfrac{2+4}{ - 2}= - 3 $
$ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 $ est donc négatif ou nul si $ u_{n} \in \left] - \infty ; - 3\right] \cup \left[1;+\infty \right[ $
et positif ou nul si $ u_{n} \in \left[ - 3;1\right] $.
Or d'après la question précédente $ 1\leqslant u_{n} \leqslant 2 $ donc $ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 $ est négatif ou nul pour tout entier $ n\in \mathbb{N} $
Par ailleurs, comme $ u_{n} \geqslant 1 $, $ u_{n}+4 $ est strictement positif donc :
$ u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{ - u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4} \leqslant 0 $
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est donc décroissante - La suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante et minorée par 1 donc elle est convergente (voir théorème)
- Méthode : On fait tendre $ n $ vers $ +\infty $ dans chaque membre de l'égalité $ u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} $
Si $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l $ alors :
$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}=l $
et :
$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}=\dfrac{2l+3}{l+4} $
Comme $ u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} $, par passage à la limite :
$ l=\dfrac{2l+3}{l+4} $
c'est à dire
$ l\left(l+4\right)=\left(2l+3\right) $
$ l^{2}+4l - 2l - 3=0 $
$ l^{2}+2l - 3=0 $
Cette équation (équivalente à celle résolue plus haut) possède deux solutions : $ 1 $ et $ - 3 $.
Comme $ 1 \leqslant u_{n} \leqslant 2 $ la limite ne peut pas être égale à $ - 3 $ donc $ l=1 $.
En conclusion $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1 $