Etude de fonctions trigonométriques – Equations/Inéquations

Partie A

On rappelle que la fonction $\sin(x)$ est périodique, de période $2\pi$.

1. Sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$, l'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ admet deux solutions :

   $ x_1 = \dfrac{\pi}{6} $ et $ x_2 = \dfrac{5\pi}{6} $

   Dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions pour $x$ de l'équation $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ est :

   $ \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \right\} $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

2. La figure ci-dessous donne la représentation graphique de $\sin(x)$ et de la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$.

   

   Dans l'intervalle de périodicité $\left[ \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{6} + 2\pi \right]$, l'inéquation $\sin(x) < \dfrac{1}{2}$ est vérifiée pour $\dfrac{5\pi}{6} < x < \dfrac{13\pi}{6}$, ce qui donne sur $\mathbb{R}$ :

   $ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi < x < \dfrac{13\pi}{6} + 2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

Partie B

Soit $f$ définie par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$.

1. En rappelant que $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ et que $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, on a :

   $ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos(x)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $
   $ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} [\sin(x) + \cos(x)] = \dfrac{\sqrt{2}}{2} f(x) $

2. On déduit de ce qui précède que $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
   Résoudre l'équation $f(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ revient à résoudre $\sqrt{2} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, c'est-à-dire :

   $ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2} $

   D'après la question A.1, l'ensemble des solutions de cette équation pour $x + \dfrac{\pi}{4}$ dans $\mathbb{R}$ est :

   $ \left\{ \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \right\} $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

   Ce qui donne pour $x$ :

   $ \left\{ \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \right\} = \left\{ -\dfrac{\pi}{12} + 2k\pi, \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi \right\} $

3. En raisonnant similairement avec le résultat trouvé en A.2, on résout l'inéquation $f(x) < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\mathbb{R}$ :

   $ \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi < x + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{13\pi}{6} + 2k\pi $
   $ \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \dfrac{13\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi $
   $ \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi < x < \dfrac{23\pi}{12} + 2k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $

(Solution rédigée par Paki)