Prérequis :
La fonction exponentielle (notée $\exp$ ou $x\mapsto e^{x}$) est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$\exp^{\prime}=\exp$
$\exp\left(0\right)=1$
La fonction exponentielle est strictement croissante et strictement positive sur $\mathbb{R}$.
Pour tous réels $a$ et $b$ :
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$e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}$
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$e^{ – a}=\dfrac{1}{e^{a}}$
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$e^{a – b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$
L’objectif de cet exercice est de démontrer les principaux résultats concernant les limites de la fonction exponentielle.
Partie A
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=e^{x} – x$.
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Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
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En déduire que pour tout réel $x$ : $e^{x} > x$.
Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty$
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A l’aide de la question précédente, montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }e^{x}=0$
Partie B
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g\left(x\right)=e^{x} – \dfrac{x^{2}}{2}$.
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Etudier le sens de variation de la fonction $g$.
Montrer que $g\left(x\right) > 0$ pour tout $x > 0$.
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En déduire la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $\dfrac{e^{x}}{x}$.
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Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x e^{x}=0$.
Corrigé
Partie A
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$f^{\prime}\left(x\right)=e^{x} – 1$
$f^{\prime}\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow e^{x} – 1 > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 \Leftrightarrow e^{x} > e^{0} \Leftrightarrow x > 0$ car le fonction exponentielle est strictement croissante.
Par ailleurs $f\left(0\right)=e^{0} – 0=1$.
On en déduit le tableau de variation de $f$
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Le tableau précédent montre que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f\left(x\right) > 0$, c’est à dire $e^{x} > x$.
Or $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty$. Donc d’après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }e^{x}=+\infty$
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On pose $X= – x$. Lorsque $x\rightarrow – \infty$, $X\rightarrow +\infty$ et :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{ – X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{e^{X}}$
Or d’après la question précédente $\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }e^{X}=+\infty$ donc par quotient :
$\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{e^{X}}=0$
En conclusion : $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }e^{x}=0$
Partie B
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$g^{\prime}\left(x\right)=e^{x} – x=f\left(x\right) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Donc la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$
On en déduit que pour $x > 0$, $g\left(x\right) > g\left(0\right)=1 > 0$
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Pour $x$ strictement positif $g\left(x\right) > 0$ donc $e^{x} – \dfrac{x^{2}}{2} > 0$ donc $e^{x} > \dfrac{x^{2}}{2}$
Par conséquent : $\dfrac{e^{x}}{x} > \dfrac{x}{2}$ et comme $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x}{2}=+\infty$, d’après le théorème de comparaison pour les limites infinies : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$
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On pose, là encore, $X= – x$ :
$\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x e^{x}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } – X e^{ – X}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty } – \dfrac{X}{e^{X}}$
D’après la question précédente $\dfrac{e^{X}}{X}$ tend vers $+\infty$ lorsque $X\rightarrow +\infty$ donc $\dfrac{X}{e^{X}}$ (qui est son inverse) tend vers $0$.
Donc $\lim\limits_{x\rightarrow – \infty }x e^{x}= – 0=0$.
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