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edit_note Exercices 30 min
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Nombre de solutions d’une équation (Concours général)

(Concours général 2005)

Soit $ f : \left[0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} $ une fonction numérique définie et continue sur l'intervalle $ \left[0 ; 1\right] $. On suppose que $ f\left(0\right)=f\left(1\right)=0 $ et que pour tout $ x $ réel de l'intervalle $ \left[0 ; \dfrac{7}{10}\right] $ :

$ f \left(x+\dfrac{3}{10}\right) \neq f\left(x\right) $

.

  1. Démontrer que l'équation $ f\left(x\right)=0 $ a au moins sept solutions sur $ \left[0 ; 1\right] $.
  2. Donner un exemple de la fonction $ f $ vérifiant les hypothèses.

Corrigé

Soit $ f $ une fonction continue sur $ [0 ; 1] $ telle que $ f(0) = f(1) = 0 $ et, pour tout $ x \in [0 ; 0,7] $, $ f(x+0,3) \neq f(x) $.

On considère la fonction auxiliaire $ g $ définie sur $ [0 ; 0,7] $ par :

$ g(x) = f(x+0,3) - f(x) $

L'hypothèse $ f(x+0,3) \neq f(x) $ implique que $ g(x) \neq 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 0,7] $.
Comme $ f $ est continue, $ g $ est également continue sur $ [0 ; 0,7] $. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $ g $ ne s'annule pas, elle garde un signe constant sur cet intervalle.

Supposons, par exemple, que $ g(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 0,7] $. (Le raisonnement est analogue si $ g(x) < 0 $).

  1. Démonstration du nombre de solutions :

    Calculons les valeurs de $ f $ aux points $ 0,1 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,9 $ et $ 1 $ :

    • $ g(0) = f(0,3) - f(0) = f(0,3) > 0 \implies f(0,3) > 0 $.
    • $ g(0,3) = f(0,6) - f(0,3) > 0 \implies f(0,6) > f(0,3) > 0 $.
    • $ g(0,6) = f(0,9) - f(0,6) > 0 \implies f(0,9) > f(0,6) > 0 $.
    • $ g(0,7) = f(1) - f(0,7) = -f(0,7) > 0 \implies f(0,7) < 0 $.
    • $ g(0,4) = f(0,7) - f(0,4) > 0 \implies f(0,4) < f(0,7) < 0 $.
    • $ g(0,1) = f(0,4) - f(0,1) > 0 \implies f(0,1) < f(0,4) < 0 $.

    Récapitulons les signes de $ f $ :

    • $ f(0) = 0 $ : 1ère solution.
    • $ f(0,1) < 0 $ et $ f(0,3) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0,1 ; 0,3] $. Comme $ f $ est continue, il existe $ x_2 \in ]0,1 ; 0,3[ $ tel que $ f(x_2) = 0 $ (2ème solution).
    • $ f(0,3) > 0 $ et $ f(0,4) < 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0,3 ; 0,4] $. Il existe $ x_3 \in ]0,3 ; 0,4[ $ tel que $ f(x_3) = 0 $ (3ème solution).
    • $ f(0,4) < 0 $ et $ f(0,6) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0,4 ; 0,6] $. Il existe $ x_4 \in ]0,4 ; 0,6[ $ tel que $ f(x_4) = 0 $ (4ème solution).
    • $ f(0,6) > 0 $ et $ f(0,7) < 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0,6 ; 0,7] $. Il existe $ x_5 \in ]0,6 ; 0,7[ $ tel que $ f(x_5) = 0 $ (5ème solution).
    • $ f(0,7) < 0 $ et $ f(0,9) > 0 $ : $ f $ change de signe sur $ [0,7 ; 0,9] $. Il existe $ x_6 \in ]0,7 ; 0,9[ $ tel que $ f(x_6) = 0 $ (6ème solution).
    • $ f(1) = 0 $ : 7ème solution.

    L'équation $ f(x) = 0 $ possède donc au moins sept solutions sur $ [0 ; 1] $.

  2. Exemple de fonction :

    Une fonction vérifiant ces hypothèses est une fonction dont la différence $ f(x+0,3) - f(x) $ est constante et non nulle.
    Par exemple, la fonction définie par :

    $ f(x) = \sin\left(\dfrac{10\pi x}{3}\right) - \dfrac{x}{0,3} \sin(3\pi \times 0,3) $

    est un peu complexe. Plus simplement, on peut chercher une fonction de la forme $ f(x) = \sin(10\pi x) + \epsilon(x) $ ou utiliser une fonction affine par morceaux qui joint les points $ (0, 0), (0,1, -1), (0,3, 1), (0,4, -1), (0,6, 1), (0,7, -1), (0,9, 1), (1, 0) $.

(Solution rédigée par Pierre555)