Limites et encadrement

On sait que $1\leqslant f\left(x\right)$ donc en ajoutant $x$ à chaque membre :

$f\left(x\right)+x \geqslant 1+x$

Or, $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1+x=+\infty$

donc d’après le théorème de comparaison quand $x\rightarrow +\infty$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right)+x=+\infty$

De même, $1\leqslant f\left(x\right)$ donc pour $x$ positif $xf\left(x\right)\geqslant x$

Comme $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty$, le même théorème que précédemment permet de conclure que :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty$

$1\leqslant f\left(x\right)\leqslant 2$ donc pour $x$ strictement positif, en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{x}$ (qui est aussi strictement positif) :

$\dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{f\left(x\right)}{x}\leqslant \dfrac{2}{x}$

Or $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{2}{x}=0$

Donc d’après le théorème des gendarmes :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)}{x}=0$

On écrit :

$\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{f\left(x\right)}{x^{2}f\left(x\right)}+\dfrac{x}{x^{2}f\left(x\right)}=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{xf\left(x\right)}$

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{x^{2}}=0$

Ensuite, pour calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)}$ on peut poser $X=xf\left(x\right)$.

D’après la question 2. :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }X=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }xf\left(x\right)=+\infty$

donc $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{xf\left(x\right)}=\lim\limits_{X\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{X}=0$

Finalement, par somme :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f\left(x\right)+x}{x^{2}f\left(x\right)}=0$