Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \backslash\left\{1\right\}$ par $f\left(x\right)=\dfrac{2x^{2}+1}{\left(x – 1\right)^{2}}$ et $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(O ; \vec{i}, \vec{j}\right)$.
Déterminer les équations des asymptotes à la courbe $\mathscr C_{f}$.
Limites en $+\infty$ et $- \infty$ :
On a une forme indéterminée du type «$\dfrac{ \infty}{\infty}$» (voir Méthode : Formes indéterminées)
On développe le dénominateur puis on factorise par $x^{2}$ au numérateur et au dénominateur :
$f\left(x\right)=\dfrac{2x^{2}+1}{\left(x – 1\right)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2} – 2x+1}=\dfrac{x^{2}\left(2+1/x^{2}\right)}{x^{2}\left(1 – 2/x+1/x^{2}\right)}=\dfrac{2+1/x^{2}}{1 – 2/x+1/x^{2}}$
Lorsque $x\rightarrow \\pm \infty$ le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur tend vers $1$ donc par quotient :
$\lim\limits_{x\rightarrow \\pm \infty }f\left(x\right)=2$
La courbe $\mathscr C_{f}$ admet donc la droite d’équation $y=2$ comme asymptote horizontale..
Limite en $1$
Lorsque $x\rightarrow 1$, le dénominateur tend vers zéro; on a affaire à une limite du type «$\dfrac{k}{0}$» (voir fiche : limite du type «$k/0$»)
Pour $x \neq 1$ le dénominateur (qui est un carré) et le numérateur sont strictement positif donc :
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}f\left(x\right)=+\infty$
Remarque : Il n’est pas utile de distinguer ici limite à gauche et limite à droite; en effet $f$ ne change pas de signe donc les limites à droite et à gauche sont égales.
La courbe $C_{f}$ admet donc une asymptote verticale d’équation $x=1$
