Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f\left(x\right)=xe^{ – x}$
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Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ – x}$ soit une primitive de $f$.
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En déduire la valeur de :
$I=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt$
Corrigé
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$F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F^{\prime}=f$
Si $F\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ – x}$ alors :
$F^{\prime}\left(x\right)=ae^{ – x}+\left(ax+b\right)\times – e^{ – x}$ (formule $\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$)
$F^{\prime}\left(x\right)=\left( – ax+a – b\right) e^{ – x}$
Par identification, $F^{\prime}=f$ si et seulement si $- a=1$ et $a – b=0$; c’est à dire :
$a= – 1$ et $b= – 1$
On obtient alors :
$F\left(x\right)=\left( – x – 1\right)e^{ – x}$
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$I=F\left(1\right) – F\left(0\right)= – 2e^{ – 1}+1e^{0}=1 – \dfrac{2}{e}$