Calculer les intégrales suivantes :
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$A=\int_{0}^{ 1}\left(3x^{2}+x+2\right) dx$
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$B=\int_{2}^{ 4}\dfrac{1}{x}dx$
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$C=\int_{1}^{ 2}2x e^{\left(x^{2} – 1\right)}dx$
Corrigé
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Une primitive de $f : x\mapsto 3x^{2}+x+2$ sur $\mathbb{R}$ est $F : x\mapsto x^{3}+\dfrac{x^{2}}{2}+2x$
$A=F\left(1\right) – F\left(0\right)=1+\dfrac{1}{2}+2 – 0=\dfrac{7}{2}$
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Une primitive de $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\left]0 ; +\infty \right[$ est la fonction $\ln$.
$B=\ln\left(4\right) – \ln\left(2\right)=\ln\left(\dfrac{4}{2}\right)=\ln\left(2\right)$
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La fonction $f : x\mapsto 2x e^{\left(x^{2} – 1\right)}$ est de la forme $u^{\prime}e^{u}$ avec $u\left(x\right)=x^{2} – 1$.
Une primitive de cette fonction sur $\mathbb{R}$ est donc $F : x \mapsto e^{\left(x^{2} – 1\right)}$
$C=F\left(2\right) – F\left(1\right)=e^{\left(2^{2} – 1\right)} – e^{\left(1 – 1\right)}=e^{3} – 1$