Equations avec logarithme ou exponentielle

Résoudre les équations suivantes (on déterminera au préalable l'ensemble de définition de chaque équation) :

Corrigé

Cette équation est définie sur $ \mathbb{R} $.

$ e^{x+1}=2 \Leftrightarrow x+1=\ln2 $ (d'après cette propriété)

L'équation a pour unique solution $ x=\ln2 - 1 $
L'équation est définie sur $ \mathbb{R} $ et équivalente à :

$ x^{2}=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) $

$ x^{2}= - \ln\left(2\right) $

Comme $ - \ln\left(2\right) < 0 $ l'équation proposée n'a pas de solution.
L'équation est définie si $ x+1 > 0 $ donc sur l'intervalle $ D=\left] - 1 ; +\infty \right[ $

Sur cet intervalle, elle est équivalente à :

$ x+1=e^{ - 1} $

$ x= - 1+e^{ - 1} $ (que l'on peut aussi écrire $ - 1+\dfrac{1}{e} $ ou $ \dfrac{1 - e}{e} $)

Cette valeur appartient bien à $ D $ donc est l'unique solution de l'équation.
Cette équation est définie pour $ x > - 1 $ et $ x > 1 $ c'est à dire sur l'intervalle $ D = \left]1 ; +\infty \right[ $.

$ \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(\left(x+1\right)\left(x - 1\right)\right)=1 $

$ \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow \ln\left(x^{2} - 1\right)=1 $

$ \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2} - 1=e $

$ \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x^{2}=e+1 $

$ \ln\left(x+1\right) + \ln\left(x - 1\right)=1 \Leftrightarrow x=\sqrt{e+1} $ ou $ x= - \sqrt{e+1} $

La valeur $ - \sqrt{e+1} $ est négative donc n'appartient pas à $ D $.

L'équation a donc pour unique solution $ x=\sqrt{e+1} $