Extrait d’un exercice du Bac ES/L Liban 2013.
Le sujet complet est disponible ici : Bac ES/L Liban 2013
On considère la fonction $C$ définie sur l’intervalle $\left[5 ; 60\right]$ par :
$C\left(x\right)=\dfrac{e^{0,1x}+20}{x}.$
-
On désigne par $C^{\prime}$ la dérivée de la fonction $C$.
Montrer que, pour tout $x\in \left[5 ; 60\right]$:
$C^{\prime}\left(x\right)=\dfrac{0,1xe^{0,1x} – e^{0,1x} – 20}{x^{2}}$
-
On considère la fonction $f$ définie sur $\left[5 ; 60\right]$ par
$f\left(x\right)=0,1xe^{0,1x} – e^{0,1x} – 20.$
-
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[5 ; 60\right]$.
-
Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $\left[5 ; 60\right]$.
-
Donner un encadrement à l’unité de $\alpha$.
-
En déduire le tableau de signes de $f\left(x\right)$ sur $\left[5 ; 60\right]$.
-
-
En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\left[5 ; 60\right]$.
-
En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
-
$C\left(x\right)=2$
-
$C\left(x\right)=5$
-
