Probabilites : Loi uniforme

Soit $ X $ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $ \left[1;5\right] $

Calculer $ p\left(X < 2\right) $, $ p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right) $, $ p\left(X > 3\right) $.
Quelle est l'espérance mathématique de $ X $ ?
Quelle est la probabilité que $ X $ soit supérieur à $ 3 $ sachant que $ X $ est supérieur à $ 2 $.

Corrigé

$ p\left(X < 2\right)=p\left(1 < X < 2\right)=\dfrac{2 - 1}{5 - 1}=\dfrac{1}{4} $

$ p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right)=\dfrac{4 - 2}{5 - 1}=\dfrac{1}{2} $

$ p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 3}{5 - 1}=\dfrac{1}{2} $
$ E\left(X\right)=\dfrac{1+5}{2}=3 $
La probabilité cherchée est :

$ p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{p\left(\left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right)\right)}{p\left(X > 2\right)} $

Si $ X $est supérieur à $ 3 $, il est obligatoirement supérieur à $ 2 $ donc $ \left(X > 2\right) \cap \left(X > 3\right) = \left(X > 3\right) $

$ p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{p\left(X > 3\right)}{p\left(X > 2\right)} $

$ p\left(X > 3\right)=p\left(3 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 3}{5 - 1}=\dfrac{1}{2} $ et $ p\left(X > 2\right)=p\left(2 < X < 5\right)=\dfrac{5 - 2}{5 - 1}=\dfrac{3}{4} $

Par conséquent :

$ p_{X > 2}\left(X > 3\right)=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3} $