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edit_note Exercices 30 min
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Arbre et probabilités conditionnelles

Amateur de sudoku (jeu constituant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.

40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et 30 % de niveau difficile.

Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95 % des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les événements suivants :

  • $ F $ : « la grille est de niveau facile »
  • $ M $ : « la grille est de niveau moyen »
  • $ D $ : « la grille est de niveau difficile »
  • $ R $ : « Pierre réussit la grille » et $ \overline{R} $ son événement contraire.
  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
    1. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
    2. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
    3. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à $ 0,68 $.
  3. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?
  4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite soeur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.

Corrigé

  1. Arbre pondéré représentant la situation :

    Arbre de probabilité
    1. $ p(D \cap R) = p(D) \times p_D(R) = 0,3 \times 0,4 = 0,12 $.
    2. $ p(F \cap \overline{R}) = p(F) \times p_F(\overline{R}) = 0,4 \times 0,05 = 0,02 $.
    3. $ p(R) = p(F \cap R) + p(M \cap R) + p(D \cap R) $
      $ p(R) = p(F) \times p_F(R) + p(M) \times p_M(R) + 0,12 = 0,4 \times 0,95 + 0,3 \times 0,6 + 0,12 = 0,68 $.
  3. $ p_{\overline{R}}(M) = \dfrac{p(\overline{R} \cap M)}{p(\overline{R})} = \dfrac{p(M) \times p_M(\overline{R})}{1 - p(R)} = \dfrac{0,3 \times 0,4}{0,32} = 0,375 $.
  4. La probabilité au millième près que la grille réussie par Pierre soit une grille de niveau facile est $ p_R(F) = \dfrac{p(F \cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,38}{0,68} \approx 0,559 $.

    Sa petite sœur a donc plus d'une chance sur deux d'avoir raison.

(Solution rédigée par Paki)